Олимпиадные задачи по теме «Принцип крайнего» для 7 класса - сложность 2 с решениями

Пятизначное число называется <i>неразложимым</i>, если оно не раскладывается в произведение двух трёхзначных чисел.

Какое наибольшее количество неразложимых пятизначных чисел может идти подряд?

Даны 11 гирь разного веса (одинаковых нет), каждая весит целое число граммов. Известно, что как ни разложить гири (все или часть) на две чаши, чтобы гирь на них было не поровну, всегда перевесит чаша, на которой гирь больше. Докажите, что хотя бы одна из гирь весит более 35 граммов.

На доске записано произведение <i>a</i>₁<i>a</i>₂... <i>a</i>₁₀₀, где <i>a</i>₁, ..., <i>a</i>₁₀₀ – натуральные числа. Рассмотрим 99 выражений, каждое из которых получается заменой одного из знаков умножения на знак сложения. Известно, что значения ровно 32 из этих выражений чётные. Какое наибольшее количество чётных чисел среди <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>₁₀₀ могло быть?

Докажите, что числа от 1 до 16 можно записать в строку, но нельзя записать по кругу так, чтобы сумма любых двух соседних чисел была квадратом натурального числа.

Докажите, что если для чисел<i>a</i>,<i>b</i>и<i>c</i>выполняются неравенства|<i>a</i>-<i>b</i>|$\ge$|<i>c</i>|,|<i>b</i>-<i>c</i>|$\ge$|<i>a</i>|,|<i>c</i>-<i>a</i>|$\ge$|<i>b</i>|, то одно из этих чисел равно сумме двух других.

У Коли есть отрезок длины<i>k</i>, а у Лёвы — отрезок длины <i>l</i>. Сначала Коля делит свой отрезок на три части, а потом Лёва делит на три части свой отрезок. Если из получившихся шести отрезков можно сложить два треугольника, то выигрывает Лёва, а если нет — Коля. Кто из играющих, в зависимости от отношения<i>k</i>/<i>l</i>, может обеспечить себе победу, и как ему следует играть?

Имеется 10 отрезков, причём известно, что длина каждого – целое число сантиметров. Два самых коротких отрезка – по сантиметру, самый длинный – 50 см. Докажите, что среди отрезков найдутся три, из которых можно составить треугольник.

В круге провели несколько (конечное число) различных хорд так, что каждая из них проходит через середину какой – либо другой из проведённых хорд. Докажите, что все эти хорды являются диаметрами круга.

Покажите как любой четырехугольник разрезать на три трапеции (параллелограмм тоже можно считать трапецией).

В одной из школ 20 раз проводился кружок по астрономии. На каждом занятии присутствовало ровно пять школьников, причём никакие два школьника не встречались на кружке более одного раза. Докажите, что всего на кружке побывало не менее 20 школьников.

Имеются два сосуда емкостью 1 л и 2 л. Из содержимого приготовили 0,5 л смеси, содержащей 40% яблочного сока, и 2,5 л смеси, содержащей 88% яблочного сока. Каково процентное содержание яблочного сока в сосудах?

Имеется 25 кусков сыра разного веса. Всегда ли можно один из этих кусков разрезать на две части и разложить сыр в два пакета так, что части разрезанного куска окажутся в разных пакетах, веса пакетов будут одинаковы и число кусков в пакетах также будет одинаково?

Девять цифр: 1, 2, 3, ..., 9 выписаны в некотором порядке (так что получилось девятизначное число). Рассмотрим все тройки цифр, идущих подряд, и найдём сумму соответствующих семи трёхзначных чисел. Каково наибольшее возможное значение этой суммы?

Каждый из 450 депутатов парламента дал пощёчину ровно одному своему коллеге.

Докажите, что можно избрать парламентскую комиссию из 150 человек, среди членов которой никто никого не бил.

Петя хочет изготовить необычную игральную кость, которая, как обычно, должна иметь форму куба, на гранях которого нарисованы точки (на разных гранях разное число точек), но при этом на каждых двух соседних гранях число точек должно различаться по крайней мере на два (при этом разрешается, чтобы на некоторых гранях оказалось больше шести точек). Сколько всего точек необходимо для этого нарисовать?

Числа 1, 2, 3, ..., 25 расставляют в таблицу  5&times5  так, чтобы в каждой строке числа были расположены в порядке возрастания.

Какое наибольшее и какое наименьшее значение может иметь сумма чисел в третьем столбце?

По окружности записаны 30 чисел. Каждое из этих чисел равно модулю разности двух чисел, стоящих после него по часовой стрелке. Сумма всех чисел

равна 1. Найти эти числа.

В некотором королевстве было 32 рыцаря. Некоторые из них были вассалами других (вассал может иметь только одного сюзерена, причём сюзерен всегда богаче своего вассала). Рыцарь, имевший не менее четырёх вассалов, носил титул барона. Какое наибольшее число баронов могло быть при этих условиях?

(В королевстве действовал закон: "вассал моего вассала – не мой вассал".)

Рассматривается конечное множество <i>M</i> единичных квадратов на плоскости. Их стороны параллельны осям координат (разрешается, чтобы квадраты пересекались). Известно, что для любой пары квадратов расстояние между их центрами не больше 2. Докажите, что существует единичный квадрат (не обязательно из множества <i>M</i>) со сторонами, параллельными осям, пересекающийся хотя бы по точке с каждым квадратом множества <i>M</i>.

В клетках доски  <i>n×n</i>  произвольно расставлены числа от 1 до <i>n</i>². Докажите, что найдутся две такие соседние клетки (имеющие общую вершину или общую сторону), что стоящие в них числа отличаются не меньше чем на  <i>n</i> + 1.

Дано 1989 чисел. Известно, что сумма любых десяти из них положительна. Докажите, что сумма всех чисел тоже положительна.

<img align="right" src="/storage/problem-media/97867/problem_97867_img_2.gif">Квадрат разбит на пять прямоугольников так, что четыре угла квадрата являются углами четырёх прямоугольников, площади которых равны между собой, а пятый прямоугольник не имеет общих точек со сторонами квадрата. Докажите, что этот пятый прямоугольник есть квадрат.

Дано 1993 числа. Известно, что сумма любых четырёх чисел положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна?

В вершинах 100-угольника расставлены числа так, что каждое равно среднему арифметическому своих соседей. Докажите, что все они равны.

Двадцать рыцарей надели двадцать плащей, и каждому плащ оказался короток. Тогда рыцари, сняв плащи, выстроились по росту. Самый высокий рыцарь взял себе самый длинный плащ, второй взял себе самый длинный плащ из оставшихся и т.д. Рыцарь самого маленького роста взял себе самый короткий плащ. Докажите, что и в этом случае каждому рыцарю плащ окажется короток.