Назад

Олимпиадная задача: кто выиграет — Коля или Лёва при делении отрезков?

Задача 207755 • Сложность: 2 • 7-9 класс
Задача

У Коли есть отрезок длиныk, а у Лёвы — отрезок длины l. Сначала Коля делит свой отрезок на три части, а потом Лёва делит на три части свой отрезок. Если из получившихся шести отрезков можно сложить два треугольника, то выигрывает Лёва, а если нет — Коля. Кто из играющих, в зависимости от отношенияk/l, может обеспечить себе победу, и как ему следует играть?

Авторы:
Чеканов Ю. В.
Разделы:
Планиметрия Теория алгоритмов Принцип крайнего
Источники:
Московская математическая олимпиада 1994 год 9 класс Олимпиады и турниры
Количество версий:
4
Решение

  Первый случай. Еслиk>l, то выигрывает Коля: ему достаточно отрезать отkчасть, которая будет больше суммы всех остальных. Например, можно разрезать k на части (рис.)

l + $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$(k - l ),$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{6}}$(k - l ),$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{6}}$(k - l ).
Тогда самая большая частьl+${\frac{2}{3}}$(k-l) не может быть стороной никакого треугольника: по неравенству треугольника сумма длин двух остальных сторон должна быть больше, но сумма длин всех остальных отрезков (равнаяl+${\frac{1}{3}}$(k-l)) меньше длины этой части.

Второй случай. Если k$\le$l, то выигрывает Лёва. Пусть Коля разрезал k на части k1$\ge$k2$\ge$k3. Тогда Лёва разрежет l так, чтобы его большая часть равнялась большей части отрезка Коли, а две другие были равными между собой (рис.):

l = k1 + $\displaystyle {\frac{l-k_1}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{l-k_1}{2}}$.
Тогда получатся два равнобедренных треугольника:
(k1, k1, k2),        $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{l-k_1}2,\frac{l-k_1}2,k_3}\right.$$\displaystyle {\frac{l-k_1}{2}}$,$\displaystyle {\frac{l-k_1}{2}}$, k3$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{l-k_1}2,\frac{l-k_1}2,k_3}\right)$
Действительно, из отрезковa,a,bможно сложить равнобедренный треугольник тогда и только тогда, когдаb< 2a. Очевидно, чтоk2< 2k1. С другой стороны,
2 . $\displaystyle {\frac{l-k_1}{2}}$ = l - k1 > k3,
так какk1+k3<k$\le$l.
Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет