Олимпиадные задачи по теме «Геометрические методы» для 11 класса - сложность 2 с решениями

Изобразите на координатной плоскости множество всех точек, координаты <i>x</i> и <i>у</i> которых удовлетворяют неравенству  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116892/problem_116892_img_2.gif"> .

Найдите наибольшее значение выражения  <i>x</i>² + <i>y</i>²,  если  |<i>x – y</i>| ≤ 2  и  |3<i>x + y</i>| ≤ 6.

В треугольнике <i>ABC</i> высоты или их продолжения пересекаются в точке <i>H</i>, а <i>R</i> – радиус его описанной окружности.

Докажите, что если  ∠<i>A</i> ≤ ∠<i>B</i> ≤ ∠<i>C</i>,  то  <i>AH + BH</i> ≥ 2<i>R</i>.

В прямоугольном параллелепипеде <i>ABCDA</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁ четыре числа – длины рёбер и диагонали <i>AC</i>₁ – образуют арифметическую прогрессию с положительной разностью <i>d</i>, причём <i>AA</i>₁ < <i>AB</i> < <i>BC</i>. Две внешне касающиеся друг друга сферы одинакового неизвестного радиуса <i>R</i> расположены так, что их центры лежат внутри параллелепипеда, причём первая сфера касается граней <i>ABB</i>₁<i>A</i>₁, <i>ADD</i&gt...

В правильной треугольной пирамиде <i>ABCD</i> сторона основания <i>ABC</i> равна 4, угол между плоскостью основания <i>ABC</i> и боковой гранью равен <img align="middle" src="/storage/problem-media/116519/problem_116519_img_2.gif">. Точки <i>K</i>, <i>M</i>, <i>N</i> – середины отрезков <i>AB</i>, <i>DK</i>, <i>AC</i> соответственно, точка <i>E</i> лежит на отрезке <i>CM</i> и 5<i>ME = CE</i>. Через точку <i>E</i> проходит плоскость П перпендикулярно отрезку <i>CM</i>. В каком отношении плоскость П делит рёбра пирамиды? Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью П и расстояние от точки <i...

В правильной треугольной пирамиде <i>ABCD</i> длина бокового ребра равна 12, а угол между основанием <i>ABC</i> и боковой гранью равен <img align="middle" src="/storage/problem-media/116518/problem_116518_img_2.gif">. Точки <i>K</i>, <i>M</i>, <i>N</i> – середины рёбер <i>AB</i>, <i>CD</i>, <i>AC</i> соответственно. Точка <i>E</i> лежит на отрезке <i>KM</i> и 2<i>ME</i> = <i>KE</i>. Через точку <i>E</i> проходит плоскость П перпендикулярно отрезку <i>KM</i>. В каком отношении плоскость П делит рёбра пирамиды? Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью П и расстояние от точки <i>N</i...

Прямая пересекает график функции  <i>y = x</i>²  в точках с абсциссами <i>x</i>₁ и <i>x</i>₂, а ось абсцисс – в точке с абсциссой <i>x</i>₃. Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116488/problem_116488_img_2.gif"> .

В кубе <i>АВСDA'B'C'D'</i> с ребром 1 точки <i>T, Р</i> и <i>Q</i> – центры граней <i>AA'B'B, A'B'C'D</i>' и <i>BB'C'C</i> соответственно.

Найдите расстояние от точки <i>Р</i> до плоскости <i>АTQ</i>.

Докажите, что суммы квадратов расстояний от произвольной точки пространства до противоположных вершин прямоугольника равны между собой.

На рёбрах<i> NN</i>1и<i> KN </i>куба<i> KLMNK</i>1<i>L</i>1<i>M</i>1<i>N</i>1отмечены точки<i> P </i>и<i> Q </i>, причём<i> <img src="/storage/problem-media/110446/problem_110446_img_2.gif">=<img src="/storage/problem-media/110446/problem_110446_img_3.gif"> </i>,<i> <img src="/storage/problem-media/110446/problem_110446_img_4.gif"> = </i>4. Через точки<i> M</i>1,<i> P </i>и<i> Q </i>проведена плоскость. Найдите расстояние от точки<i> K </i>до этой плоскости, если ребро куба равно 3

Ребро куба<i> EFGHE</i>1<i>F</i>1<i>G</i>1<i>H</i>1равно 2. На рёбрах<i> EH </i>и<i> HH</i>1взяты точки<i> A </i>и<i> B </i>, причём<i> <img src="/storage/problem-media/110445/problem_110445_img_2.gif">=</i>2,<i> <img src="/storage/problem-media/110445/problem_110445_img_3.gif"> = <img src="/storage/problem-media/110445/problem_110445_img_4.gif"> </i>. Через точки<i> A </i>,<i> B </i>и<i> G</i>1проведена плоскость. Найдите расстояние от точки<i> E </i>до этой плоскости.

На шахматной доске стоят восемь ладей, не бьющих друг друга. Докажите, что среди попарных расстояний между ними найдутся два одинаковых. (Расстояние между ладьями – это расстояние между центрами клеток, в которых они стоят.)

В пространстве даны восемь параллельных плоскостей таких, что расстояния между каждыми двумя соседними равны. На каждой из плоскостей выбирается по точке. Могут ли выбранные точки оказаться вершинами куба.

Тангенсы углов треугольника – целые числа. Чему они могут быть равны?

Найдите геометрическое место точек, лежащих внутри куба и равноудалённых от трёх скрещивающихся рёбер  <i>a, b, c</i>  этого куба.

Можно ли нарисовать на плоскости четыре красных и четыре чёрных точки так, чтобы для каждой тройки точек одного цвета нашлась такая точка другого цвета, что эти четыре точки являются вершинами параллелограмма?

Существует ли в пространстве куб, расстояния от вершин которого до данной плоскости равны 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?

<i>M</i> – множество точек на плоскости. Точка <i>O</i> называется "почти центром симметрии" множества <i>M</i>, если из <i>M</i> можно выбросить одну точку так, что для оставшегося множества <i>O</i> является центром симметрии в обычном смысле. Сколько "почти центров симметрии" может иметь конечное множество на плоскости?

Дан куб<i> ABCDA</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1<i>D</i>1с ребром<i> a </i>. Пусть<i> M </i>– такая точка на ребре<i> A</i>1<i>D</i>1, для которой<i> A</i>1<i>M:MD</i>1<i> = </i>1<i>:</i>2. Найдите периметр треугольника<i> AB</i>1<i>M </i>, а также расстояние от вершины<i> A</i>1до плоскости, проходящей через вершины этого треугольника.

Дан куб<i> ABCDA</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1<i>D</i>1с ребром<i> a </i>. Пусть<i> M </i>– середина ребра<i> D</i>1<i>C</i>1. Найдите периметр треугольника<i> A</i>1<i>DM </i>, а также расстояние от вершины<i> D</i>1до плоскости, проходящей через вершины этого треугольника.

В кубе<i> ABCDA</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1<i>D</i>1, где<i> AA</i>1,<i> BB</i>1,<i> CC</i>1и<i> DD</i>1– параллельные рёбра, плоскость<i> P </i>проходит через точку<i> D </i>и середины рёбер<i> A</i>1<i>D</i>1и<i> C</i>1<i>D</i>1. Найдите расстояние от середины ребра<i> AA</i>1до плоскости<i> P </i>, если ребро куба равно 2.

В кубе<i> ABCDA</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1<i>D</i>1, где<i> AA</i>1,<i> BB</i>1,<i> CC</i>1и<i> DD</i>1– параллельные рёбра, плоскость<i> P </i>проходит через противоположные вершины<i> A</i>1,<i> C </i>и середину ребра<i> D</i>1<i>C</i>1. Найдите расстояние от вершины<i> D</i>1до плоскости<i> P </i>, если ребро куба равно 6.

В кубе<i> ABCDA</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1<i>D</i>1, где<i> AA</i>1,<i> BB</i>1,<i> CC</i>1и<i> DD</i>1– параллельные рёбра, плоскость<i> P </i>проходит через диагональ<i> A</i>1<i>C</i>1грани куба и середину ребра<i> AD </i>. Найдите расстояние от середины ребра<i> AB </i>до плоскости<i> P </i>, если ребро куба равно 3.

В кубе<i> ABCDA</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1<i>D</i>1, где<i> AA</i>1,<i> BB</i>1,<i> CC</i>1и<i> DD</i>1– параллельные рёбра, плоскость<i> P </i>проходит через диагональ<i> A</i>1<i>C</i>1грани куба и середину ребра<i> DD</i>1. Найдите расстояние от середины ребра<i> CD </i>до плоскости<i> P </i>, если ребро куба равно 4.

Даны точки<i> A</i>(<i>-</i>3<i>;</i>0<i>;</i>1)и<i> D</i>(1<i>;</i>3<i>;</i>2). Составьте параметрические уравнения прямой<i> AD </i>.