Из прямоугольных треугольников A1D1M , DD1M и DD1A1по теореме Пифагора находим, что

A1M = = = ,

DM = = = ,

A1D = = = a.

Следовательно, периметр треугольника A1DM равен

A1M + DM + A1D = + + a = a + a = a( + ).

Теперь найдём расстояние от вершины D1до плоскости, проходящей через вершины этого треугольника. Пусть K – середина основания A1D равнобедренного треугольника A1MD . Тогда MK – высота треугольника A1MD . По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника MKD находим, что

MK = = = .

Пусть V – объём пирамиды A1D1MD . Тогда

V = S_{Δ A}1D1M· DD1 = · A1D1· D1M· DD1 = · a· · a = .

С другой стороны,

V = S_{Δ A}1MD· h,

где h – искомое расстояние от вершины D1до плоскости, проходящей через вершины треугольника A1MD . Следовательно,

h = = = = .

Примем за начало координат вершину D1, а оси координат направим по лучам D1A1, D1C1и D1D . Тогда уравнение плоскости, проходящей через точки A1, D и M , имеет вид

+ + = 1

(уравнение плоскости в отрезках), или x + 2y + z - a = 0. Следовательно,

h = = .

a( + ); .