Пусть M , N , K и L – середины рёбер A1D1, C1D1, AA1и CC1соответственно (рис.1). Прямая KL параллельна прямой MN , поэтому прямая KL параллельна плоскости P . Кроме того, прямая KL проходит через центр O куба ABCDA1B1C1D1. Значит, расстояние от середины K ребра AA1до плоскости P равно расстоянию от точки O до этой плоскости.

Пусть E – точка пересечения отрезков MN и B1D1, F – основание перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую DE . Так как прямая MN перпендикулярна плоскости BB1D1D , то MN OF . Значит, OF – перпендикуляр к плоскости P . Таким образом, искомое расстояние равно длине отрезка OF .

Рассмотрим сечение данного куба плоскостью BB1D1D (рис.2). Пусть прямая, проходящая через середину O диагонали BD1параллельно BD , пересекает отрезок DE в точке Q , а отрезок DD1– в точке S . Тогда OS – средняя линия треугольника BD1D , а QS – средняя линия треугольника EDD1. Поэтому

OQ = OS - QS = BD - ED1 = (BD - ED1) = (2 - ) = .

Обозначим FOQ = α . Тогда

EDD1 = FOQ = α, cos α = = = = .

Следовательно,

OF = OQ cos α = · = 1.

Выберем прямоугольную систему координат D1xyz , взяв за начало точку D1и направив оси координат по лучам D1A1, D1C1и D1D соответственно. Уравнение плоскости P будет иметь вид

+ + = 1

(уравнение плоскости в отрезках), или2x + 2y + z - 2 = 0. Расстояние от точки K(2;0;1) до этой плоскости равно

= = 1.

1.00