Из прямоугольных треугольников AA1M , B1A1M и AA1B1по теореме Пифагора находим, что

AM = = = ,

B1M = = = ,

AB1 = = = a.

Следовательно, периметр треугольника AB1M равен

AM + B1M + AB1 = + + a =

= + a =

Теперь найдём расстояние от вершины A1до плоскости, проходящей через вершины треугольника AB1M . Пусть K – середина основания AB1равнобедренного треугольника MAB1. Тогда MK – высота треугольника MAB1. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника MAK находим, что

MK = = = .

Пусть V – объём пирамиды AA1MB1. Тогда

V = S_{Δ A}1MB1· AA1 = · A1M· A1B1· AA1 = · · · a· a = .

С другой стороны,

V = S_{Δ AB}1M· h,

где h – искомое расстояние от вершины A1до плоскости, проходящей через вершины треугольника AB1M . Следовательно,

h = = = = .

Примем за начало координат вершину A1, а оси координат направим по лучам A1D1, A1B1и A1A . Тогда уравнение плоскости, проходящей через точки A , B1и M , имеет вид

+ + = 1

(уравнение плоскости в отрезках), или3x + y + z - a = 0. Следовательно,

h = = .

; .