Олимпиадные задачи по теме «Геометрические методы» для 10 класса - сложность 2-3 с решениями

Изобразите на координатной плоскости множество всех точек, координаты <i>x</i> и <i>у</i> которых удовлетворяют неравенству  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116892/problem_116892_img_2.gif"> .

Найдите наибольшее значение выражения  <i>x</i>² + <i>y</i>²,  если  |<i>x – y</i>| ≤ 2  и  |3<i>x + y</i>| ≤ 6.

В прямоугольном параллелепипеде <i>ABCDA</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁ четыре числа – длины рёбер и диагонали <i>AC</i>₁ – образуют арифметическую прогрессию с положительной разностью <i>d</i>, причём <i>AA</i>₁ < <i>AB</i> < <i>BC</i>. Две внешне касающиеся друг друга сферы одинакового неизвестного радиуса <i>R</i> расположены так, что их центры лежат внутри параллелепипеда, причём первая сфера касается граней <i>ABB</i>₁<i>A</i>₁, <i>ADD</i&gt...

В правильной треугольной пирамиде <i>ABCD</i> сторона основания <i>ABC</i> равна 4, угол между плоскостью основания <i>ABC</i> и боковой гранью равен <img align="middle" src="/storage/problem-media/116519/problem_116519_img_2.gif">. Точки <i>K</i>, <i>M</i>, <i>N</i> – середины отрезков <i>AB</i>, <i>DK</i>, <i>AC</i> соответственно, точка <i>E</i> лежит на отрезке <i>CM</i> и 5<i>ME = CE</i>. Через точку <i>E</i> проходит плоскость П перпендикулярно отрезку <i>CM</i>. В каком отношении плоскость П делит рёбра пирамиды? Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью П и расстояние от точки <i...

В правильной треугольной пирамиде <i>ABCD</i> длина бокового ребра равна 12, а угол между основанием <i>ABC</i> и боковой гранью равен <img align="middle" src="/storage/problem-media/116518/problem_116518_img_2.gif">. Точки <i>K</i>, <i>M</i>, <i>N</i> – середины рёбер <i>AB</i>, <i>CD</i>, <i>AC</i> соответственно. Точка <i>E</i> лежит на отрезке <i>KM</i> и 2<i>ME</i> = <i>KE</i>. Через точку <i>E</i> проходит плоскость П перпендикулярно отрезку <i>KM</i>. В каком отношении плоскость П делит рёбра пирамиды? Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью П и расстояние от точки <i>N</i...

В кубе <i>ABCDA</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁, ребро которого равно 6, точки <i>M</i> и <i>N</i> – середины рёбер <i>AB</i> и <i>B</i>₁<i>C</i>₁ соответственно, а точка <i>K</i> расположена на ребре <i>DC</i> так, что

<i>DK</i> = 2<i>KC</i>.  Найдите

  а) расстояние от точки <i>N</i> до прямой <i>AK</i>;

  б) расстояние между прямыми <i>MN</i> и <i>AK</i>;

  в) расстояние от точки <i>A</i>₁ до плоскости треуго...

Прямая пересекает график функции  <i>y = x</i>²  в точках с абсциссами <i>x</i>₁ и <i>x</i>₂, а ось абсцисс – в точке с абсциссой <i>x</i>₃. Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116488/problem_116488_img_2.gif"> .

В пространстве даны точки<i> A</i>(<i>-</i>1<i>;</i>2<i>;</i>0),<i> B</i>(5<i>;</i>2<i>;-</i>1),<i> C</i>(2<i>;-</i>1<i>;</i>4)и<i> D</i>(<i>-</i>2<i>;</i>2<i>;-</i>1). Найдите: а) расстояние от вершины<i> D </i>тетраэдра<i> ABCD </i>до точки пересечения медиан основания<i> ABC </i>; б) уравнение плоскости<i> ABC </i>; в) высоту тетраэдра, проведённую из вершины<i> D </i>; г) угол между прямыми<i> BD </i>и<i> AC </i>; д) угол между гранями<i> ABC </i>и<i> ACD </i>; е) расстояние между прямыми<i> BD </i>и&lt...

B выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i>:  <i>AC</i> ⊥ <i>BD</i>,  ∠<i>BCA</i> = 10°,  ∠<i>BDA</i> = 20°,  ∠<i>BAC</i> = 40°.  Найдите ∠<i>BDC</i>.

В кубе <i>АВСDA'B'C'D'</i> с ребром 1 точки <i>T, Р</i> и <i>Q</i> – центры граней <i>AA'B'B, A'B'C'D</i>' и <i>BB'C'C</i> соответственно.

Найдите расстояние от точки <i>Р</i> до плоскости <i>АTQ</i>.

В тетраэдре<i> ABCD </i>ребро<i> AB </i>перпендикулярно ребру<i> CD </i>,<i> P </i>— произвольная точка пространства. Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки<i> O </i>до середин рёбер<i> AC </i>и<i> BD </i>равна сумме квадратов расстояний от точки<i> P </i>до середин рёбер<i> AD </i>и<i> BC </i>.

В угол <i>A</i>, равный α, вписана окружность, касающаяся его сторон в точках <i>B</i> и <i>C</i>. Прямая, касающаяся окружности в некоторой точке <i>M</i>, пересекает отрезки <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>Р</i> и <i>Q</i> соответственно. При каких α может быть выполнено неравенство <i>S_PAQ < S_BMC</i>?

Укажите точки на поверхности куба, из которых диагональ куба видна под наименьшим углом.

Расстоянием между двумя клетками бесконечной шахматной доски назовём минимальное число ходов в пути короля между этими клетками. На доске отмечены три клетки, попарные расстояния между которыми равны 100. Сколько существует клеток, расстояния от которых до всех трёх отмеченных равны 50?

В квадрате 10×10 расставлены числа от 1 до 100: в первой строчке – от 1 до 10 слева направо, во второй – от 11 до 20 слева направо и т.д. Андрей собирается разрезать квадрат на доминошки 1×2, посчитать произведение чисел в каждой доминошке и сложить полученные 50 чисел. Он стремится получить как можно меньшую сумму. Как ему следует разрезать квадрат?

Дан набор из<i> n></i>2векторов. Назовем вектор набора длинным, если его длина не меньше длины суммы остальных векторов набора. Докажите, что если каждый вектор набора– длинный, то сумма всех векторов набора равна нулю.

Докажите, что если<i> α </i>,<i> β </i>и<i> γ </i>– углы остроугольного треугольника, то<i> sinα + sinβ + sinγ > </i>2.

Основание прямоугольного параллелепипеда<i> ABCDA</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1<i>D</i>1– прямоугольник<i> ABCD </i>со сторонами<i> AB=</i>2и<i> BC=</i>4. Высота<i> OO</i>1параллелепипеда равна 4 (<i> O </i>и<i> O</i>1– центры граней<i> ABCD </i>и<i> A</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1<i>D</i>1соответственно). Сфера радиуса 3 с центром на высоте<i> OO</i>1касается плоскости основания. Найдите сумму квадратов расстояний от точки, принадлежащей сфере, до всех вершин параллелепипеда при условии, что она максимальна.

Плоскость проходит через сторону основания правильной четырёхугольной пирамиды и делит пополам двугранный угол при этой стороне. Найдите площадь основания пирамиды наименьшего объёма, если известно, что указанная плоскость пересекает высоту пирамиды в точке, удалённой на расстояние<i> d </i>от плоскости основания.

Докажите, что суммы квадратов расстояний от произвольной точки пространства до противоположных вершин прямоугольника равны между собой.

В кубе<i>ABCDA</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁, ребро которого равно 4, точки<i>E</i>и<i>F</i> ─ середины рёбер<i>AB</i>и<i>B</i>₁<i>C</i>₁ соответственно, а точка<i>P</i>расположена на ребре<i>CD</i>так, что<i>PD</i> = 3<i>PC</i>. Найдите

1. расстояние от точки<i>F</i>до прямой<i>AP</i>;

2. расстояние между прямыми<i>EF</i>и<i>AP</i>;

3. расстояние от точки<i>A</i>₁ до плоскости треугольника<i>EFP</i>.

В кубе<i>ABCDA</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁, ребро которого равно 6, точки<i>M</i>и<i>N</i> ─ середины рёбер<i>AB</i>и<i>B</i>₁<i>C</i>₁ соответственно, а точка<i>K</i>расположена на ребре<i>DC</i>так, что<i>CK</i> = 2<i>KD</i>. Найдите

1. расстояние от точки<i>N</i>до прямой<i>MK</i>;

2. расстояние между прямыми<i>MN</i>и<i>AK</i>;

3. расстояние от точки<i>A</i>₁ до плоскости треугольника<i>MKN</i>.

В кубе<i>ABCDA</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁, ребро которого равно 4, точки<i>E</i>и<i>F</i> ─ середины рёбер<i>AB</i>и<i>B</i>₁<i>C</i>₁ соответственно, а точки<i>P</i>расположена на ребре<i>CD</i>так, что<i>CD</i> = 3<i>PD</i>. Найдите

1. расстояние от точки<i>F</i>до прямой<i>AP</i>;

2. расстояние между прямыми<i>EF</i>и<i>AP</i>;

3. расстояние от точки<i>A</i>до плоскости треугольника<i>EFP</i>.

На рёбрах<i> NN</i>1и<i> KN </i>куба<i> KLMNK</i>1<i>L</i>1<i>M</i>1<i>N</i>1отмечены точки<i> P </i>и<i> Q </i>, причём<i> <img src="/storage/problem-media/110446/problem_110446_img_2.gif">=<img src="/storage/problem-media/110446/problem_110446_img_3.gif"> </i>,<i> <img src="/storage/problem-media/110446/problem_110446_img_4.gif"> = </i>4. Через точки<i> M</i>1,<i> P </i>и<i> Q </i>проведена плоскость. Найдите расстояние от точки<i> K </i>до этой плоскости, если ребро куба равно 3

Ребро куба<i> EFGHE</i>1<i>F</i>1<i>G</i>1<i>H</i>1равно 2. На рёбрах<i> EH </i>и<i> HH</i>1взяты точки<i> A </i>и<i> B </i>, причём<i> <img src="/storage/problem-media/110445/problem_110445_img_2.gif">=</i>2,<i> <img src="/storage/problem-media/110445/problem_110445_img_3.gif"> = <img src="/storage/problem-media/110445/problem_110445_img_4.gif"> </i>. Через точки<i> A </i>,<i> B </i>и<i> G</i>1проведена плоскость. Найдите расстояние от точки<i> E </i>до этой плоскости.