Олимпиадные задачи по теме «Числовые последовательности» для 10 класса - сложность 2 с решениями
Числовые последовательности
НазадПоследовательность чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ... задана условиями <i>a</i><sub>1</sub> = 1, <i>a</i><sub>2</sub> = 143 и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116589/problem_116589_img_2.gif"> при всех <i>n</i> ≥ 2.
Докажите, что все члены последовательности – целые числа.
Последовательность натуральных чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i>, ... такова, что для каждого <i>n</i> уравнение <i>a</i><sub><i>n</i>+2</sub><i>x</i>² + <i>a</i><sub><i>n</i>+1</sub><i>x</i> + <i>a<sub>n</sub></i> = 0 имеет действительный корень. Может ли число членов этой последовательности быть
а) равным 10;
б) бесконечным?
При каком натуральном <i>K</i> величина <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/97900/problem_97900_img_2.gif"> достигает максимального значения?
Натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что $a^{n+1} + b^{n+1}$ делится на $a^n+b^n$ для бесконечного множества различных натуральных $n$. Обязательно ли тогда $a = b$?
Взяли несколько положительных чисел и построили по ним такую последовательность: <i>a</i><sub>1</sub> – сумма исходных чисел, <i>a</i><sub>2</sub> – сумма квадратов исходных чисел, <i>a</i><sub>3</sub> – сумма кубов исходных чисел, и т.д.
а) Могло ли случиться, что до <i>a</i><sub>5</sub> последовательность убывает (<i>a</i><sub>1</sub> > <i>a</i><sub>2</sub> > <i>a</i><sub>3</sub> > <i>a</i><sub>4</sub> > <i>a</i><sub>5</sub>), а начиная с <i>a</i><sub>5</sub> – возрастает (<i>a</i><sub>5</sub> < <i>a...
У чисел 1000², 1001², 1002², ... отбрасывают по две последние цифры. Сколько первых членов полученной последовательности образуют арифметическую прогрессию?
Назовём <i>геометрико-гармоническим средним</i> чисел <i>a</i> и <i>b</i> общий предел последовательностей {<i>a<sub>n</sub></i>} и {<i>b<sub>n</sub></i>}, построенных по правилу <div align="CENTER"><i>a</i><sub>0</sub> = <i>a, b</i><sub>0</sub> = <i>b</i>, <i>a</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <img width="60" height="51" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61324/problem_61324_img_2.gif">, <i>b</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <img width="53" height="39" align="MIDDLE...
Пусть <i>a</i> и <i>b</i> – два положительных числа, и <i>a < b</i>. Определим две последовательности чисел {<i>a<sub>n</sub></i>} и {<i>b</i><sub>n</sub>} формулами: <div align="CENTER"><i>a</i><sub>0</sub> = <i>a,   b</i><sub>0</sub> = <i>b, a</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <img width="60" height="51" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61323/problem_61323_img_2.gif">, <i>b</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <img width="60" height="51" align="MIDDLE" border=&quo...
Пусть <i>a</i> и <i>b</i> – два положительных числа, причём <i>a < b</i>. Построим по этим числам две последовательности {<i>a<sub>n</sub></i>} и {<i>b<sub>n</sub></i>} по правилам: <div align="CENTER"><i>a</i><sub>0</sub> = <i>a</i>, <i>b</i><sub>0</sub> = <i>b</i>, <i>a</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <img width="53" height="39" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61322/problem_61322_img_2.gif">, <i>b</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <img width="60" height="...
Числа<i>a</i><sub>1</sub>,<i>a</i><sub>2</sub>, ...,<i>a</i><sub>k</sub>таковы, что равенство<div align="CENTER"> $\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}^{}$(<i>x</i><sub>n</sub> + <i>a</i><sub>1</sub><i>x</i><sub>n - 1</sub> +...+ <i>a</i><sub>k</sub><i>x</i><sub>n - k</sub>) = 0 </div>возможно только для тех последовательностей {<i>x</i><sub>n</sub>}, для которых$\lim\limits_{n\to\infty}^{}$<i>x</i><sub>n</sub>= 0. Докажите, что все корни многочлена<div align="CENTER"> <i>P</i>($\displaystyle \lambda$)...
Последовательность чисел {<i>a</i><sub>n</sub>} задана условиями<div align="CENTER"> <i>a</i><sub>1</sub> = 1, <i>a</i><sub>n + 1</sub> = <i>a</i><sub>n</sub> + $\displaystyle {\dfrac{1}{a_n^2}}$ (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 1). </div>Верно ли, что эта последовательность ограничена?
Геометрической интерпретацией итерационного процесса служит<i>итерационная ломаная</i>. Для ее построения на плоскости<i>Oxy</i>рисуется график функции<i>f(x)</i>и проводится биссектриса координатного угла — прямая<i>y</i>=<i>x</i>. Затем на графике функции отмечаются точки<i>A<sub>0</sub>(x<sub>0</sub>,f(x<sub>0</sub>))</i>,<i>A<sub>1</sub>(x<sub>1</sub>,f(x<sub>1</sub>))</i>,...,<i>A<sub>n</sub>(x<sub>n</sub>,f(x<sub>n</sub>))</i>,... а на биссектрисе координатного угла — точки<i>B<sub>0</sub>(x<sub>0</sub>,x<sub>0</sub>)</i>,<i>B<...
<b>Метод итераций.</b>Для того, чтобы приближенно решить уравнение, допускающее запись<i>f</i>(<i>x</i>) =<i>x</i>, применяется метод итераций. Сначала выбирается некоторое число<i>x</i><sub>0</sub>, а затем строится последовательность {<i>x</i><sub>n</sub>} по правилу<i>x</i><sub>n + 1</sub>=<i>f</i>(<i>x</i><sub>n</sub>)(<i>n</i>$\geqslant$0). Докажите, что если эта последовательность имеет предел<i>x</i>* =$\lim\limits_{n\to\infty}^{}$<i>x</i><sub>n</sub>, и функция<i>f</i>(<i>x</i>) непрерывна, то этот предел является корнем исходного уравнения:<i>f</i&...
К чему будет стремиться последовательность из предыдущей задачи<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161297">9.46</a>, если в качестве начального условия выбрать<i>x</i><sub>1</sub>= - 1?
<b>Вавилонский алгоритм вычисления $\sqrt{2}$.</b>Последовательность чисел {<i>x</i><sub>n</sub>} задана условиями:<div align="CENTER"> <i>x</i><sub>1</sub> = 1, <i>x</i><sub>n + 1</sub> = $\displaystyle {\textstyle\dfrac{1}{2}}$$\displaystyle \left(\vphantom{x_n+\frac{2}{x_n}}\right.$<i>x</i><sub>n</sub> + $\displaystyle {\frac{2}{x_n}}$$\displaystyle \left.\vphantom{x_n+\frac{2}{x_n}}\right)$ (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 1). </div>Докажите, что$\lim\limits_{n\to\infty}^{}$<i>x</i><sub>n</sub>=$\sqrt{2}$.
Какое слагаемое в разложении (1 + <img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60420/problem_60420_img_2.gif">)<sup>100</sup> по формуле бинома Ньютона будет наибольшим?