Олимпиадные задачи по теме «Планиметрия» для 2-5 класса
Планиметрия
НазадМожно ли нарисовать 1006 различных 2012-угольников, у которых все вершины общие, но при этом ни у каких двух нет ни одной общей стороны?
Биссектрисы треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>I</i>, ∠<i>ABC</i> = 120°. На продолжениях сторон <i>AB</i> и <i>CB</i> за точку <i>B</i> отмечены соответственно точки <i>P</i> и <i>Q</i> так, что <i>AP = CQ = AC</i>. Докажите, что угол <i>PIQ</i> – прямой.
Из квадратного листа бумаги сложили треугольник (см. рисунки). Найдите отмеченный угол. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/117002/problem_117002_img_2.gif"></div>
В треугольнике <i>ABC</i> на стороне <i>AB</i> выбрана точка <i>K</i> и проведены биссектриса <i>KE</i> треугольника <i>AKC</i> и высота <i>KH</i> треугольника <i>BKC</i>. Оказалось, что угол <i>EKH</i> – прямой. Найдите <i>BC</i>, если <i>HC</i> = 5.
Одну сторону прямоугольника увеличили в 3 раза, а другую уменьшили в 2 раза и получили квадрат.
Чему равна сторона квадрата, если площадь прямоугольника 54 м²?
Внутри угла <i>AOB</i>, равного 120°, проведены лучи <i>OC</i> и <i>OD</i> так, что каждый из них является биссектрисой какого-то из углов, получившихся на чертеже. Найдите величину угла <i>AOC</i>, указав все возможные варианты.
Прямоугольник разделён двумя вертикальными и двумя горизонтальными отрезками на девять прямоугольных частей. Площади некоторых из получившихся частей указаны на рисунке. Найдите площадь верхней правой части. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116469/problem_116469_img_2.gif"></div>
На вертикальную ось надели несколько колес со спицами. Вид сверху изображен на левом рисунке.
<center><img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115380/problem_115380_img_2.gif"></center> После этого колеса повернули. Новый вид сверху изображен на рисунке справа. Могло ли колес быть: а) три; б) два?
Саша разрезал шахматную доску8<i>× </i>8по границам клеток на30прямоугольников так, чтобы равные прямоугольники не соприкасались даже углами (см. рис.). Попытайтесь улучшить его достижение, разрезав доску на большее число прямоугольников с соблюдением того же условия.
<center><i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115377/problem_115377_img_2.gif"> </i></center>
Определите, с какой стороны расположен руль у изображенного на рисунке автомобиля. <center><img src="/storage/problem-media/110758/problem_110758_img_2.gif"></center>
Разделите круг тремя прямолинейными разрезами на: а) 4 части; б) 5 частей; в) 6 частей; г) 7 частей.
В Совершенном городе шесть площадей. Каждая площадь соединена прямыми улицами ровно с тремя другими площадями. Никакие две улицы в городе не пересекаются. Из трёх улиц, отходящих от каждой площади, одна проходит внутри угла, образованного двумя другими. Начертите возможный план такого города.
Можно ли расставить на футбольном поле четырёх футболистов так, чтобы попарные расстояния между ними равнялись 1, 2, 3, 4, 5 и 6 метров?
Изобразите как можно больше квадратов так, чтобы каждые два имели ровно по две общие вершины.
Составьте квадрат, используя ровно четыре из пяти изображенных ниже фигур. Каждую из четырех выбранных Вами фигур можно использовать только один раз.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/104070/problem_104070_img_2.jpg"></div>
Найдите площадь фигур, изображенных на рисунке. <img src="/storage/problem-media/103947/problem_103947_img_2.png">
Зачеркните все 13 точек на рисунке пятью отрезками, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя никакую линию дважды. <img src="/storage/problem-media/103851/problem_103851_img_2.gif">
На кольцевой дороге расположены четыре бензоколонки:<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и<i>D</i>. Расстояние между<i>A</i>и<i>B</i> — 50 км, между<i>A</i>и<i>C</i> — 40 км, между<i>C</i>и<i>D</i> — 25 км, между<i>D</i>и<i>A</i> — 35 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги в кратчайшую сторону). а) Приведите пример расположения бензоколонок (с указанием расстояний между ними), удовлетворяющий условию задачи.
б) Найдите расстояние между <i>B</i> и <i>C</i> (укажите все возможности).
Отметьте на плоскости 6 точек так, чтобы от каждой на расстоянии 1 находилось ровно три точки.
Угол при вершине журавлиного клина равен 20°.
Как изменится величина этого угла при рассматривании журавлей в бинокль с троекратным увеличением?
Легко можно разрезать квадрат на два равных треугольника или два равных четырёхугольника.
А как разрезать квадрат на два равных пятиугольника или два равных шестиугольника?
Квадратный лист бумаги разрезали на шесть кусков в форме выпуклых многоугольников; пять кусков затерялись, остался один кусок в форме правильного восьмиугольника (см. рисунок). Можно ли по одному этому восьмиугольнику восстановить исходный квадрат?<div align="center"><img src="/storage/problem-media/88235/problem_88235_img_2.gif"></div>
Как, не имея никаких измерительных средств, отмерить 50 см от шнурка, длина которого ⅔ метра?
Население Китая составляет один миллиард человек. Казалось бы, на карте Китая с масштабом1 : 1 000 000 (1 см: 10 км) сможет поместиться в миллион раз меньше людей, чем находится на всей территории страны. Однако на самом деле не только 1000, но даже 100 человек не смогут разместиться на этой карте. Можете ли вы объяснить это противоречие?
Чему равна площадь треугольника со сторонами 18, 17, 35?