Олимпиадные задачи по теме «Алгебра и арифметика» для 9 класса - сложность 1 с решениями

В формулу линейной функции  <i>y = kx + b</i>  вместо букв <i>k</i> и <i>b</i> впишите числа от 1 до 20 (каждое по одному разу) так, чтобы получилось 10 функций, графики которых проходят через одну и ту же точку.

Сравните числа:  <i>А</i> = 2011·20122012·201320132013  и  <i>В</i> = 2013·20112011·201220122012.

Купец купил в Твери несколько мешков соли и продал их в Москве с прибылью в 100 рублей. На все вырученные деньги он снова купил в Твери соль (по тверской цене) и продал в Москве (по московской цене). На этот раз прибыль составила 120 рублей. Сколько денег он потратил на первую покупку?

На некоторые клетки квадратной доски 4×4 выкладывают стопкой золотые монеты, а на остальные клетки – серебряные. Можно ли положить монеты так, чтобы в каждом квадрате 3×3 серебряных монет было больше, чем золотых, а на всей доске золотых было больше, чем серебряных?

Петя ехал из Петрова в Николаево, а Коля – наоборот. Они встретились, когда Петя проехал 10 км и еще четверть оставшегося ему до Николаева пути, а Коля проехал 20 км и треть оставшегося ему до Петрова пути. Какое расстояние между Петрово и Николаево?

На рисунке изображен график функции  <i>у = kx + b</i> .  Сравните |<i>k</i>| и |<i>b</i>|. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116734/problem_116734_img_2.gif"></div>

Существуют ли два одночлена, произведение которых равно –12<i>а</i>⁴<i>b</i>², а сумма является одночленом с коэффициентом 1?

Найдите все пары  (<i>p, q</i>)  простых чисел, разность пятых степеней которых также является простым числом.

Докажите, что для любого натурального <i>n</i> выполнено неравенство  (<i>n</i> – 1)^<i>n</i>+1(<i>n</i> + 1)^<i>n</i>–1 < <i>n</i>^2<i>n</i>.

Бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия такова, что произведение каждых двух различных её членов – также член этой прогрессии. Докажите, что все её члены – целые числа.

Про три положительных числа известно, что если выбрать одно из них и прибавить к нему сумму квадратов двух других, то получится одна и та же сумма, независимо от выбранного числа. Верно ли, что все числа равны?

Известно, что <i>x, y</i> и <i>z</i> – целые числа и  <i>xy + yz + zx</i> = 1.  Докажите, что число  (1 + <i>x</i>²)(1 + <i>y</i>²)(1 + <i>z</i>²)  является квадратом натурального числа.

Найдите наименьшее натуральное значение <i>n</i>, при котором число <i>n</i>! делится на 990.

Для некоторых чисел <i>а, b, c</i> и <i>d</i>, отличных от нуля, выполняется равенство:   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116531/problem_116531_img_2.gif"> .   Найдите знак числа <i>ас</i>.

Решите уравнение:   (<i>x</i> + 2010)(<i>x</i> + 2011)(<i>x</i> + 2012) = (<i>x</i> + 2011)(<i>x</i> + 2012)(<i>x</i> + 2013).

Для игры в "Морской бой" на поле 8×8 клеток расставили 12 "двухпалубных" кораблей. Обязательно ли останется место для "трёхпалубного" корабля?  ("Двухпалубный" корабль – прямоугольник 1×2, а "трёхпалубный" – 1×3. Корабли могут соприкасаться, но накладываться друг на друга не должны.)

На рисунке изображен график приведённого квадратного трёхчлена (ось ординат стёрлась, расстояние между соседними отмеченными точками

равно 1). Чему равен дискриминант этого трёхчлена? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116482/problem_116482_img_2.gif"></div>

После возвращения цирка с гастролей, знакомые расспрашивали дрессировщика Казимира Алмазова о пассажирах его автофургона.

  – Тигры были?

  – Да, причём их было в семь раз больше, чем не тигров.

  – А обезьяны?

  – Да, их было в семь раз меньше, чем не обезьян.

  – А львы были?

Ответьте за Казимира Алмазова.

На столе белой стороной кверху лежали 100 карточек, у каждой из которых одна сторона белая, а другая чёрная. Костя перевернул 50 карточек, затем Таня перевернула 60 карточек, а после этого Оля – 70 карточек. В результате все 100 карточек оказались лежащими чёрной стороной вверх. Сколько карточек было перевернуто трижды?

Вычислите:   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116475/problem_116475_img_2.gif">

Известно, что  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116457/problem_116457_img_2.gif"> .   Найдите значение выражения   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116457/problem_116457_img_3.gif">.

Какие значения может принимать выражение  (<i>x – y</i>)(<i>y – z</i>)(<i>z – x</i>),  если известно, что  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116451/problem_116451_img_2.gif"> ?

Делится ли число  21¹⁰ – 1  на 2200?

Найдите все натуральные решения уравнения   2<i>n</i> – ¹/_<i>n</i>⁵ = 3 – ²/_<i>n</i>.

Верно ли, что если  <i>b > a + c</i> > 0,  то квадратное уравнение  <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0   имеет два корня?