Олимпиадные задачи по теме «Теория чисел. Делимость» - сложность 1 с решениями

В формулу линейной функции  <i>y = kx + b</i>  вместо букв <i>k</i> и <i>b</i> впишите числа от 1 до 20 (каждое по одному разу) так, чтобы получилось 10 функций, графики которых проходят через одну и ту же точку.

Существуют ли два одночлена, произведение которых равно –12<i>а</i>⁴<i>b</i>², а сумма является одночленом с коэффициентом 1?

Найдите все пары  (<i>p, q</i>)  простых чисел, разность пятых степеней которых также является простым числом.

Найдите наименьшее натуральное значение <i>n</i>, при котором число <i>n</i>! делится на 990.

На доске записали 20 первых чисел натурального ряда. Когда одно из чисел стёрли, то оказалось, что среди оставшихся чисел одно является средним арифметическим всех остальных. Найдите все числа, которые могли быть стёрты.

На столе белой стороной кверху лежали 100 карточек, у каждой из которых одна сторона белая, а другая чёрная. Костя перевернул 50 карточек, затем Таня перевернула 60 карточек, а после этого Оля – 70 карточек. В результате все 100 карточек оказались лежащими чёрной стороной вверх. Сколько карточек было перевернуто трижды?

Четверо ребят обсуждали ответ к задаче.

  Коля сказал: "Это число 9".

  Роман: "Это простое число".

  Катя: "Это четное число".

  А Наташа сказала, что это число делится на 15.

Один мальчик и одна девочка ответили верно, а двое остальных ошиблись. Какой ответ в задаче на самом деле?

Делится ли число  21¹⁰ – 1  на 2200?

Найдите все натуральные решения уравнения   2<i>n</i> – ¹/_<i>n</i>⁵ = 3 – ²/_<i>n</i>.

Найдите все пары простых чисел, разность квадратов которых является простым числом.

Существует ли натуральное число, которое при делении на сумму своих цифр как в частном, так и в остатке дает число 2011?

Найдите наименьшее число, кратное 45, десятичная запись которого состоит только из единиц и нулей.

Произведение двух натуральных чисел, каждое из которых не делится нацело на 10, равно 1000. Найдите их сумму.

Число умножили на сумму его цифр и получили 2008. Найдите это число.

В таблицу 4×4 записали натуральные числа. Могло ли оказаться так, что сумма чисел в каждой следующей строке на 2 больше, чем в предыдущей, а сумма чисел в каждом следующем столбце на 3 больше, чем в предыдущем?

Помогите Незнайке восстановить пример на деление двух чисел, если известно, что частное в пять раз меньше делимого и в семь раз больше делителя.

В равенстве  (<i>ay^b</i>)^<i>c</i> = – 64<i>y</i>⁶  замените <i>a, b</i> и <i>c</i> целыми числами, отличными от 1, так, чтобы получилось тождество.

Существует ли натуральное число, кратное 2007, сумма цифр которого равна 2007?

В конце четверти Вовочка выписал подряд в строчку свои текущие отметки по пению и поставил между некоторыми из них знак умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным 2007. Какая отметка выходит у Вовочки в четверти по пению? ("Колов" учительница пения не ставит.)

Найти четыре последовательных числа, произведение которых равно 1680.

а) Аборигены поймали Кука и просят за его выкуп ровно 455 рупий 50 монетами. Смогут ли соратники Кука выкупить его на таких условиях, если в тех краях имеют хождение только монеты в 5, 17 и 31 рупии?

б) А если бы аборигены хотели получить сумму в 910 рупий 50 монетами по 10, 34 и 62 рупии?

Найдите наибольшее четырёхзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 5, 9 и 11.

Подряд без пробелов выписали все чётные числа от 12 до 34. Получилось число 121416182022242628303234. Делится ли оно на 24?

109 яблок разложены по пакетам. В некоторых пакетах лежит по <i>x</i> яблок, в других – по три яблока.

Найдите все возможные значения <i>x</i>, если всего пакетов – 20.

Год проведения нынешнего математического праздника делится на его номер:  2006 : 17 = 118.

  а) Назовите первый номер матпраздника, для которого это тоже было выполнено.

  б) Назовите последний номер матпраздника, для которого это тоже будет выполнено.