Олимпиадные задачи по теме «Теория чисел. Делимость» для 8 класса - сложность 1 с решениями

В формулу линейной функции  <i>y = kx + b</i>  вместо букв <i>k</i> и <i>b</i> впишите числа от 1 до 20 (каждое по одному разу) так, чтобы получилось 10 функций, графики которых проходят через одну и ту же точку.

Существуют ли два одночлена, произведение которых равно –12<i>а</i>⁴<i>b</i>², а сумма является одночленом с коэффициентом 1?

Найдите наименьшее натуральное значение <i>n</i>, при котором число <i>n</i>! делится на 990.

На столе белой стороной кверху лежали 100 карточек, у каждой из которых одна сторона белая, а другая чёрная. Костя перевернул 50 карточек, затем Таня перевернула 60 карточек, а после этого Оля – 70 карточек. В результате все 100 карточек оказались лежащими чёрной стороной вверх. Сколько карточек было перевернуто трижды?

Делится ли число  21¹⁰ – 1  на 2200?

Найдите все натуральные решения уравнения   2<i>n</i> – ¹/_<i>n</i>⁵ = 3 – ²/_<i>n</i>.

Найдите все пары простых чисел, разность квадратов которых является простым числом.

Существует ли натуральное число, которое при делении на сумму своих цифр как в частном, так и в остатке дает число 2011?

Найдите наименьшее число, кратное 45, десятичная запись которого состоит только из единиц и нулей.

Произведение двух натуральных чисел, каждое из которых не делится нацело на 10, равно 1000. Найдите их сумму.

Число умножили на сумму его цифр и получили 2008. Найдите это число.

В таблицу 4×4 записали натуральные числа. Могло ли оказаться так, что сумма чисел в каждой следующей строке на 2 больше, чем в предыдущей, а сумма чисел в каждом следующем столбце на 3 больше, чем в предыдущем?

В равенстве  (<i>ay^b</i>)^<i>c</i> = – 64<i>y</i>⁶  замените <i>a, b</i> и <i>c</i> целыми числами, отличными от 1, так, чтобы получилось тождество.

Существует ли натуральное число, кратное 2007, сумма цифр которого равна 2007?

Найти четыре последовательных числа, произведение которых равно 1680.

а) Аборигены поймали Кука и просят за его выкуп ровно 455 рупий 50 монетами. Смогут ли соратники Кука выкупить его на таких условиях, если в тех краях имеют хождение только монеты в 5, 17 и 31 рупии?

б) А если бы аборигены хотели получить сумму в 910 рупий 50 монетами по 10, 34 и 62 рупии?

Найдите наибольшее четырёхзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 5, 9 и 11.

Подряд без пробелов выписали все чётные числа от 12 до 34. Получилось число 121416182022242628303234. Делится ли оно на 24?

109 яблок разложены по пакетам. В некоторых пакетах лежит по <i>x</i> яблок, в других – по три яблока.

Найдите все возможные значения <i>x</i>, если всего пакетов – 20.

Год проведения нынешнего математического праздника делится на его номер:  2006 : 17 = 118.

  а) Назовите первый номер матпраздника, для которого это тоже было выполнено.

  б) Назовите последний номер матпраздника, для которого это тоже будет выполнено.

а) Из шахматной доски вырезали клетку a1. Можно ли то, что осталось, замостить доминошками 1×2?

б) Тот же вопрос, если вырезали две клетки a1 и h8.

в) Тот же вопрос, если вырезали клетки a1 и h1.

Миша написал на доске в некотором порядке 2004 плюса и 2005 минусов. Время от времени Юра подходит к доске, стирает любые два знака и пишет вместо них один, причём если он стёр одинаковые знаки, то вместо них он пишет плюс, а если разные, то минус. После нескольких таких действий на доске остался только один знак. Какой?

а) В каждой вершине куба написано число 1 или число 0. На каждой грани куба написана сумма четырёх чисел, написанных в вершинах этой грани. Может ли оказаться, что все числа, написанные на гранях, различны?

б) Тот же вопрос, если в вершинах написаны числа 1 или –1.

После урока Олег поспорил с Сашей, уверяя, что он знает такое натуральное число <i>m</i>, что число  ^<i>m</i>/₃ + ^<i>m</i>²/₂ + ^<i>m</i>³/₆  нецелое. Прав ли Олег? И если прав, то что это за число?

Олег собрал мешочек монет. Саша пересчитал их, и оказалось, что если разделить все монеты на пять равных кучек, то останется две лишние монеты. А если на четыре равные кучки – останется одна лишняя монета. В то же время монетки можно разделить на три равные кучки. Какое наименьшее число монет могло быть у Олега?