Олимпиадные задачи по теме «Теория чисел. Делимость» для 10 класса

Известно, что  <i>b</i> = 2013²⁰¹³ + 2.  Будут ли числа  <i>b</i>³ + 1  и  <i>b</i>² + 2  взаимно простыми?

Существуют ли 2013 таких различных натуральных чисел, что сумма каждых двух из них делится на их разность?

Куб с ребром <i>n</i> составлен из белых и чёрных кубиков с ребром 1 таким образом, что каждый белый кубик имеет общую грань ровно с тремя чёрными, а каждый чёрный – ровно с тремя белыми. При каких <i>n</i> это возможно?

Дан многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) с целыми коэффициентами. Известно, что  <i>Р</i>(1) = 2013,  <i>Р</i>(2013) = 1,  <i>P</i>(<i>k</i>) = <i>k</i>,  где <i>k</i> – некоторое целое число. Найдите <i>k</i>.

Найдите все такие натуральные <i>k</i>, что при каждом нечётном  <i>n</i> > 100  число  20^<i>n</i> + 13^<i>n</i>  делится на <i>k</i>.

Три натуральных числа таковы, что последняя цифра суммы любых двух из них является последней цифрой третьего числа. Произведение этих трёх чисел записали на доске, а затем всё, кроме трёх последних цифр этого произведения, стёрли. Какие три цифры могли остаться на доске?

Натуральные числа <i>a, b</i> и <i>c</i>, где <i>c</i> ≥ 2, таковы, что  ¹/_<i>a</i> + ¹/_<i>b</i> = ¹/_<i>c</i>.  Докажите, что хотя бы одно из чисел  <i>a + c,  b + c</i> – составное.

Даны натуральные числа <i>M</i> и <i>N</i>, большие десяти, состоящие из одинакового количества цифр и такие, что  <i>M</i> = 3<i>N</i>.  Чтобы получить число <i>M</i>, надо в числе <i>N</i> к одной из цифр прибавить 2, а к каждой из остальных цифр прибавить по нечётной цифре. Какой цифрой могло оканчиваться число <i>N</i>?

При каких <i>n</i> можно оклеить в один слой поверхность клетчатого куба <i>n</i>×<i>n</i>×<i>n</i> бумажными прямоугольниками 1×2 так, чтобы каждый прямоугольник граничил по отрезкам сторон ровно с пятью другими?

При каких  <i>n</i> > 3  правильный <i>n</i>-угольник можно разрезать диагоналями (возможно, пересекающимися внутри него) на равные треугольники?

Существуют ли четыре последовательных натуральных числа, каждое из которых можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел?

Какое наибольшее количество треугольных граней может иметь пятигранник?

На какую наибольшую степень двойки делится число  10²⁰ – 2²⁰?

В десятичной записи некоторого числа цифры расположены слева направо в порядке убывания. Может ли это число быть кратным числу 111?

Расставьте в кружках, расположенных в вершинах квадрата и в его центре, пять натуральных чисел так, чтобы каждые два числа, соединенные отрезком, имели общий делитель, больший 1, а любые два числа, не соединенные отрезком, были бы взаимно просты. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116868/problem_116868_img_2.gif"></div>

Чичиков играет с Ноздрёвым. Сначала Ноздрёв раскладывает 1001 орех по трём коробочкам. Посмотрев на раскладку, Чичиков называет любое целое число <i>N</i> от 1 до 1001. Далее Ноздрёв должен переложить, если надо, один или несколько орехов в пустую четвёртую коробочку и предъявить Чичикову одну или несколько коробочек, где в сумме ровно <i>N</i> орехов. В результате Чичиков получит столько мертвых душ, сколько орехов переложил Ноздрёв. Какое наибольшее число душ может гарантировать себе Чичиков, как бы ни играл Ноздрёв?

Пусть <i>C</i>(<i>n</i>) – количество различных простых делителей числа <i>n</i>.

  а) Конечно или бесконечно число таких пар натуральных чисел  (<i>a, b</i>),  что  <i>a ≠ b</i>  и  <i>C</i>(<i>a + b</i>) = <i>C</i>(<i>a</i>) + <i>C</i>(<i>b</i>)?

  б) А если при этом дополнительно требуется, чтобы  <i>C</i>(<i>a + b</i>) > 1000?

Может ли число  (<i>x</i>² + <i>x</i> + 1)² + (<i>y</i>² + <i>y</i> + 1)²  при каких-то целых <i>x</i> и <i>y</i> оказаться точным квадратом?

Может ли произведение трёх трёхзначных чисел, для записи которых использовано девять различных цифр, оканчиваться четырьмя нулями?

Для натурального <i>n</i> обозначим  <i>S_n</i> = 1! + 2! + ... + <i>n</i>!.  Докажите, что при некотором <i>n</i> у числа <i>S_n</i> есть простой делитель, больший 10²⁰¹².

Существуют ли такие натуральные числа <i>a, b, c</i>, большие 10¹⁰, что их произведение делится на любое из них, увеличенное на 2012?

Пусть  <i>a</i>₁, ..., <i>a</i>₁₀  – различные натуральные числа, не меньшие 3, сумма которых равна 678. Может ли сумма остатков от деления некоторого натурального числа <i>n</i> на 20 чисел  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>₁₀, 2<i>a</i>₁, 2<i>a</i>₂,..., 2<i>a</i>₁₀  равняться 2012?

Изначально на доске записаны 10 последовательных натуральных чисел. За одну операцию разрешается выбрать любые два числа на доске (обозначим их <i>a</i> и <i>b</i>) и заменить их на числа  <i>a</i>² – 2011<i>b</i>²  и <i>ab</i>. После нескольких таких операций на доске не осталось ни одного из исходных чисел. Могли ли там опять оказаться 10 последовательных натуральных чисел (записанных в некотором порядке)?

По кругу стоит 101 мудрец. Каждый из них либо считает, что Земля вращается вокруг Юпитера, либо считает, что Юпитер вращается вокруг Земли. Один раз в минуту все мудрецы одновременно оглашают свои мнения. Сразу после этого каждый мудрец, оба соседа которого думают иначе, чем он, меняет своё мнение, а остальные – не меняют. Докажите, что через некоторое время мнения перестанут меняться.

Пусть  <i>a</i>₁, ..., <i>a</i>₁₁  – различные натуральные числа, не меньшие 2, сумма которых равна 407.

Может ли сумма остатков от деления некоторого натурального числа <i>n</i> на 22 числа  <i>a</i>₁, ..., <i>a</i>₁₁, 4<i>a</i>₁, 4<i>a</i>₂, ..., 4<i>a</i>₁₁  равняться 2012?