Олимпиадная задача по теории чисел: делимость суммы факториалов Sₙ. Класс 10–11

  Для простого p и натурального n обозначим через v_p(n) степень, в которой p входит в разложение n на простые множители. Заметим, что если

v_p(n) ≠ v_p(k),  то  v_p(n + k) = min {v_p(n), v_p(k)}. Отсюда немедленно следует, что если  v_p(S_n) < v_p((n + 1)!)  при некотором n, то v_p(S_k) = v_p(S_n)  при всех  k > n.

  Предположим, что все простые делители чисел вида S_n не превосходят  P = 10²⁰¹².

  Рассмотрим некоторое простое  p ≤ P.  Как показано выше, если  v_p(S_n) < v_p((n + 1)!)  при некотором n, то существует такое число a_p, что  v_p(S_k) < a_p  при всех натуральных k. Назовём такое простое число p маленьким; все остальные простые числа, меньшие P, назовём большими. Так как маленьких простых конечное количество, существует натуральное M, большее любого числа вида p^a_p, где p – маленькое.

  Пусть теперь p – большое простое число, а n таково, что  n + 2  кратно p. Тогда  v_p(S_n+1) ≥ v_p((n + 2)!) > v_p((n + 1)!);  значит,

v_p(S_n) = v_p(S_n+1 – (n + 1)!) = v_p((n + 1)!) = v_p(n!) (поскольку  n + 1  не кратно p).

  Рассмотрим число  N = MP! – 2.  По доказанному,  v_p(S_N) = v_p(N!) для каждого большого простого p. Кроме того, поскольку  N > M,  то

v_p(S_N) ≤ v_p(p^a_p) ≤ v_p(N!)  для любого маленького простого p. Поскольку все простые делители числа S_N – либо большие, либо маленькие, отсюда следует, что  S_N ≤ N!.  Противоречие.

Ответ задачи отсутствует