Олимпиадные задачи по теме «Системы счисления» для 3-8 класса - сложность 2-3 с решениями

На рисунке приведены три примера показаний исправных электронных часов. Сколько палочек могут перестать работать, чтобы время всегда можно было определить однозначно? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/117005/problem_117005_img_2.gif"></div>

Разрежьте по клеточкам квадрат 7×7 на девять прямоугольников (не обязательно различных), из которых можно будет сложить любой прямоугольник со сторонами, не превосходящими 7.

Астролог считает, что 2013 год <i>счастливый</i>, потому что 2013 нацело делится на сумму  20 + 13.

Будет ли когда-нибудь два счастливых года подряд?

Лиса Алиса и кот Базилио вырастили на дереве 20 фальшивых купюр и теперь вписывают в них семизначные номера. На каждой купюре есть 7 пустых клеток для цифр. Базилио называет по одной цифре "1" или "2" (других он не знает), а Алиса вписывает названную цифру в любую свободную клетку любой купюры и показывает результат Базилио. Когда все клетки заполнены, Базилио берет себе как можно больше купюр с разными номерами (из нескольких с одинаковым номером он берет лишь одну), а остаток забирает Алиса. Какое наибольшее количество купюр может получить Базилио, как бы ни действовала Алиса?

Вот ребус довольно простой:

ЭХ вчетверо больше, чем ОЙ.

АЙ вчетверо больше, чем ОХ.

Найди сумму всех четырёх.

Три натуральных числа таковы, что последняя цифра суммы любых двух из них является последней цифрой третьего числа. Произведение этих трёх чисел записали на доске, а затем всё, кроме трёх последних цифр этого произведения, стёрли. Какие три цифры могли остаться на доске?

Даны натуральные числа <i>M</i> и <i>N</i>, большие десяти, состоящие из одинакового количества цифр и такие, что  <i>M</i> = 3<i>N</i>.  Чтобы получить число <i>M</i>, надо в числе <i>N</i> к одной из цифр прибавить 2, а к каждой из остальных цифр прибавить по нечётной цифре. Какой цифрой могло оканчиваться число <i>N</i>?

В числе не меньше 10 разрядов, в его записи используются только две разные цифры, причём одинаковые цифры не стоят рядом.

На какую наибольшую степень двойки может делиться такое число?

Может ли произведение трёх трёхзначных чисел, для записи которых использовано девять различных цифр, оканчиваться четырьмя нулями?

Коля утверждает, что можно выяснить, делится ли на 101 сумма всех четырёхзначных чисел, в записи которых нет ни цифры 0, ни цифры 9, не вычисляя самой суммы. Прав ли Коля?

Назовём натуральное семизначное число <i>удачным</i>, если оно делится на произведение всех своих цифр. Существуют ли четыре последовательных удачных числа?

Из четырёх цифр, отличных от нуля, составлены два четырёхзначных числа: самое большое и самое маленькое из возможных. Сумма получившихся чисел оказалась равна 11990. Какие числа могли быть составлены?

Найдите значение выражения   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116454/problem_116454_img_2.gif"> ,   если  <i>а</i> = <img align="middle" src="/storage/problem-media/116454/problem_116454_img_3.gif">,   <i>b</i> = <img align="middle" src="/storage/problem-media/116454/problem_116454_img_4.gif">.

Сумма цифр натурального числа <i>n</i> равна 100. Может ли сумма цифр числа <i>n</i>³ равняться 1000000?

Натуральные числа  <i>a < b < c</i>  таковы, что  <i>b + a</i>  делится на  <i>b – a</i>,  а  <i>c + b</i>  делится на  <i>c – b</i>.  Число <i>a</i> записывается 2011, а число <i>b</i> – 2012 цифрами. Сколько цифр в числе <i>c</i>?

Барон Мюнхгаузен говорит, что у него есть многозначное число-палиндром (оно читается одинаково слева направо и справа налево). Написав его на бумажной ленте, барон сделал несколько разрезов между цифрами и получил на кусочках ленты числа 1, 2, ..., <i>N</i> в некотором порядке (каждое – ровно по разу). Не хвастает ли барон?

Боря и Миша едут в поезде и считают столбы за окном: "один, два, ...". Боря не выговаривает букву "Р", поэтому при счете он пропускает числа, в названии которых есть буква "Р", а называет сразу следующее число без буквы "Р". Миша не выговаривает букву "Ш", поэтому пропускает числа с буквой "Ш". У Бори последний столб получил номер "сто". Какой номер этот столб получил у Миши?

Какие цифры могут стоять на месте букв в примере  <i>AB·C = DE</i>,  если различными буквами обозначены различные цифры и слева направо цифры записаны в порядке возрастания?

Шестизначное табло в автомобиле показывает, сколько километров автомобиль проехал с момента покупки. Сейчас на нем высвечивается число, в котором есть четыре "семёрки". Может ли оказаться так, что еще через900 км на табло высветится число, в котором ровно одна "семерка"?

Можно ли при каком-то натуральном<i> k </i>разбить все натуральные числа от 1 до<i> k </i>на две группы и выписать числа в каждой группе подряд в некотором порядке так, чтобы получились два одинаковых числа?

В натуральном числе <i>A</i> переставили цифры, получив число <i>B</i>. Известно, что   <img align="top" src="/storage/problem-media/111791/problem_111791_img_2.gif">   Найдите наименьшее возможное значение <i>n</i>.

Петя задумал натуральное число и для каждой пары его цифр выписал на доску их разность. После этого он стер некоторые разности, и на доске остались числа 2, 0, 0, 7. Какое наименьшее число мог задумать Петя?

Верно ли, что к любому числу, равному произведению двух последовательных натуральных чисел, можно приписать в конце какие-то две цифры так, что получится квадрат натурального числа?

Найдите какое-нибудь такое девятизначное число <i>N</i>, состоящее из различных цифр, что среди всех чисел, получающихся из <i>N</i> вычеркиванием семи цифр, было бы не более одного простого.

Известно, что сумма цифр натурального числа <i>N</i> равна 100, а сумма цифр числа 5<i>N</i> равна 50. Докажите, что <i>N</i> чётно.