Олимпиадные задачи по теме «Рациональные функции» для 8 класса - сложность 3 с решениями
Рациональные функции
НазадДокажите, что если выражение<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115447/problem_115447_img_2.gif"> </i>принимает рациональное значение, то и выражение<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115447/problem_115447_img_3.gif"> </i>также принимает рациональное значение.
Известно, что существует число<i> S </i>, такое, что если<i> a+b+c+d=S </i>и<i> <img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_2.gif">+<img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_3.gif">+<img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_4.gif">+<img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_5.gif">=S </i>(<i> a </i>,<i> b </i>,<i> c </i>,<i> d </i>отличны от нуля и единицы), то<i> <img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_6.gif">+ <img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_7.gif">+ <img src="/storage/problem-media/11017...
Произведение положительных чисел <i>x, y</i> и <i>z</i> равно 1.
Докажите, что если <sup>1</sup>/<sub><i>x</i></sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>y</i></sub> + <sup>1</sup>/<i><sub>z</sub> ≥ x + y + z</i>, то для любого натурального <i>k</i> выполнено неравенство <i>x<sup>–k</sup> + y<sup>–k</sup> + z<sup>–k</sup> ≥ x<sup>k</sup> + y<sup>k</sup> + z<sup>k</sup></i>.
Докажите, что найдутся четыре таких целых числа <i>a, b, c, d</i>, по модулю больших 1000000, что <sup>1</sup>/<sub><i>a</i></sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>b</i></sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>c</i></sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>d</i></sub> = <sup>1</sup>/<sub><i>abcd</i></sub>.
Сумма чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, каждое из которых больше единицы, равна <i>S</i>, причём <img align="middle" src="/storage/problem-media/109832/problem_109832_img_2.gif"> для любого <i>i</i> = 1, 2, 3.
Докажите, что <img align="middle" src="/storage/problem-media/109832/problem_109832_img_3.gif">
Пусть <i>a, b, c</i> – положительные числа, сумма которых равна 1. Докажите неравенство: <img align="middle" src="/storage/problem-media/109792/problem_109792_img_2.gif">
Найти такие числа<i> A,B,C,a,b,c </i>, чтобы имело место тождество <center><i>
(4x-2)/(x<sup>3</sup>-x)=A/(x-a)+B/(x-b)+C/(x-c).
</i></center>
Положительные числа <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i> таковы, что <i>abc</i> = 1. Докажите неравенство <div align="CENTER"> <img width="70" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/107843/problem_107843_img_2.gif"> + <img width="68" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/107843/problem_107843_img_3.gif"> + <img width="70" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/107843/problem_107843_img_4.gif"> ≤ 1. </div>
<strong>Условие 1:</strong>Среди чисел<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>есть два одинаковых. А оставшееся число -- другое. Составьте такое арифметическое выражение из букв<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>, знаков +, -, ×, : и скобок, чтобы в результате вычислений получилось это число. (Скобки, знаки и буквы можно использовать любое количество раз.)
<strong>Условие 2:</strong>Среди чисел<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>есть два одинаковых. А оставшееся число -- другое. Составьте такое арифметическое выражение из букв<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>, знаков +, -, ×, : и скобок, чтобы в результате вычислений получилось это число. (Скобки, знаки и буквы...
Докажите, что для произвольных <i>a, b, с</i> равенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65082/problem_65082_img_2.gif"> выполнено тогда и только тогда, когда выполнено равенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65082/problem_65082_img_3.gif">.
Докажите, что если <i>f</i>(<i>x</i>) – многочлен, степень которого меньше <i>n</i>, то дробь <img width="205" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61063/problem_61063_img_2.gif"> (<i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ..., <i>x<sub>n</sub></i> – произвольные попарно различные числа) может быть представлена в виде суммы <i>n</i> простейших дробей: <img align="middle" src="/storage/problem-media/61063/problem_61063_img_3.gif">
где <i>A</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>2</sub>, ..., <i>A<sub>...
Через центр <i>O</i> правильного треугольника <i>ABC</i> проведена прямая, пересекающая прямые <i>BC, CA</i> и <i>AB</i> в точках <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>1</sub>.
Докажите, что одно из чисел <sup>1</sup>/<sub><i>OA</i><sub>1</sub></sub>, <sup>1</sup>/<sub><i>OB</i><sub>1</sub></sub> и <sup>1</sup>/<sub><i>OC</i><sub>1</sub></sub> равно сумме двух других.
На сторонах треугольника <i>ABC</i> взяты точки <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>1</sub> так, что <i>AB</i><sub>1</sub> : <i>B</i><sub>1</sub><i>C = c<sup>n</sup></i> : <i>a<sup>n</sup>, BC</i><sub>1</sub> : <i>C</i><sub>1</sub><i>A = a<sup>n</sup></i> : <i>b<sup>n</sup></i> и <i>CA</i><sub>1</sub> : <i>A</i><sub>1</sub><i>B = b<sup>n</sup></i> : <i>c<sup>n</sup></i> (<i>a, b, c</i> – длины стор...
В каждый из углов треугольника <i>ABC</i> вписано по окружности. Из одной вершины окружности, вписанные в два других угла, видны под равными углами. Из другой – тоже. Докажите, что тогда и из третьей вершины две окружности видны под равными углами.