Олимпиадные задачи по теме «Показательные функции и логарифмы» для 10 класса - сложность 3 с решениями
Показательные функции и логарифмы
НазадДокажите, что если1<i><a<b<c </i>, то <center><i>
log <sub>a</sub></i>(<i>log <sub>a</sub> b</i>)<i>+log <sub>b</sub> </i>(<i>log <sub>b</sub> c</i>)<i>+log <sub>c</sub></i>(<i>log <sub>c</sub>a</i>)<i>></i>0<i>. </i></center>
Обозначим через <i>S</i>(<i>m</i>) сумму цифр натурального числа <i>m</i>. Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных <i>n</i>, что <i>S</i>(3<i><sup>n</sup></i>) ≥ <i>S</i>(3<sup><i>n</i>+1</sup>).
Может ли число, получаемое выписыванием в строку друг за другом целых чисел от 1 до<i> n </i>(<i> n></i>1), одинаково читаться слева направо и справа налево?
Значение <i>a</i> подобрано так, что число корней первого из уравнений 4<sup><i>x</i></sup> – 4<sup>–<i>x</i></sup> = 2 cos <i>ax</i>, 4<sup><i>x</i></sup> + 4<sup>–<i>x</i></sup> = 2 cos <i>ax</i> + 4 равно 2007.
Сколько корней при том же <i>a</i> имеет второе уравнение?
Что больше: log<sub>3</sub>4 или log<sub>4</sub>5?
Рассмотрим степени пятерки: 1, 5, 25, 125, 625, ... Образуем последовательность их первых цифр: 1, 5, 2, 1, 6, ...
Докажите, что любой кусок этой последовательности, записанный в обратном порядке, встретится в последовательности первых цифр степеней двойки (1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, ...).
Рассматривается последовательность, <i>n</i>-й член которой есть первая цифра числа 2<sup><i>n</i></sup>.
Докажите, что количество различных "слов" длины 13 – наборов из 13 подряд идущих цифр – равно 57.
Функция <i>f</i>(<i>x</i>) на отрезке [<i>a, b</i>] равна максимуму из нескольких функций вида <i>y = C</i>·10<sup>–|<i>x–d</i>|</sup> (с различными <i>d</i> и <i>C</i>, причём все <i>C</i> положительны). Дано, что
<i>f</i>(<i>a</i>) = <i>f</i>(<i>b</i>). Докажите, что сумма длин участков, на которых функция возрастает, равна сумме длин участков, на которых функция убывает.
Докажите для каждого натурального числа <i>n</i> > 1 равенство: [<i>n</i><sup>1/2</sup>] + [<i>n</i><sup>1/3</sup>] + ... + [<i>n</i><sup>1/<i>n</i></sup>] = [log<sub><sub>2</sub></sub><i>n</i>] + [log<sub><sub>3</sub></sub><i>n</i>] + ... + [log<i><sub>n</sub>n</i>].
Доказать без помощи таблиц, что<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{1}{\log_2\pi}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{\log_5\pi}}$ > 2. </div>
Пользуясь равенством $\lg11=1{,}0413\ldots$, найдите наименьшее число $n>1$, для которого среди $n$-значных чисел нет ни одного, равного некоторой натуральной степени числа 11.
Имеются чашечные весы, которые находятся в равновесии, если разность масс на их чашах не превосходит 1 г, а также гири массами ln 3, ln 4, ..., ln 79 г.
Можно ли разложить все эти гири на чаши весов так, чтобы весы находились в равновесии?
<b>Старый калькулятор II.</b>Производная функции ln <i>x</i>при<i>x</i>= 1 равна 1. Отсюда<div align="CENTER"> $\displaystyle \lim\limits_{x\to0}^{}$$\displaystyle {\dfrac{\ln(1+x)}{x}}$ = $\displaystyle \lim\limits_{x\to0}^{}$$\displaystyle {\dfrac{\ln(1+x)-\ln1}{(1+x)-1}}$ = 1. </div>Воспользуйтесь этим фактом для приближенного вычисления натурального логарифма числа<i>N</i>. Как и в задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161302">9.51</a>, разрешается использовать стандартные арифметические действия и операцию извлечения квадратного корня.
Решите уравнение$2x^x=\sqrt{2}$в положительных числах.