Олимпиадные задачи по теме «Графики и ГМТ на координатной плоскости» для 9 класса - сложность 3 с решениями

Три спортсмена стартовали одновременно из точки <i>A</i> и бежали по прямой в точку <i>B</i> каждый со своей постоянной скоростью. Добежав до точки <i>B</i>, каждый из них мгновенно повернул обратно и бежал с другой постоянной скоростью к финишу в точке <i>A</i>. Их тренер бежал рядом и все время находился в точке, сумма расстояний от которой до участников забега была наименьшей. Известно, что расстояние от <i>A</i> до <i>B</i> равно 60 м и все спортсмены финишировали одновременно. Мог ли тренер пробежать меньше 100 м?

Найдите наименьшее значение  <i>x</i>² + <i>y</i>²,  если  <i>x</i>² – <i>y</i>² + 6<i>x</i> + 4<i>y</i> + 5 = 0.

Семь лыжников с номерами 1, 2, ... , 7 ушли со старта по очереди и прошли дистанцию – каждый со своей постоянной скоростью. Оказалось, что каждый лыжник ровно дважды участвовал в обгонах. (В каждом обгоне участвуют ровно два лыжника – тот, кто обгоняет, и тот, кого обгоняют.) По окончании забега должен быть составлен протокол, состоящий из номеров лыжников в порядке финиширования. Докажите, что в забеге с описанными свойствами может получиться не более двух различных протоколов.

Дана функция<i> f</i>(<i>x</i>)<i> = | </i>4<i> - </i>4<i>|x|| - </i>2. Сколько решений имеет уравнение<i> f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>))<i> = x </i>?

Прямые, параллельные оси <i>Ox</i>, пересекают график функции  <i>y = ax</i>³ + <i>bx</i>² + <i>cx + d</i>:  первая – в точках <i>A, D</i> и <i>E</i>, вторая – в точках <i>B, C</i> и <i>F</i> (см. рис.). Докажите, что длина проекции дуги <i>CD</i> на ось <i>Ox</i> равна сумме длин проекций дуг <i>AB</i> и <i>EF</i>. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/109668/problem_109668_img_2.gif"></div>

Внутри параболы  <i>y = x</i>²  расположены несовпадающие окружности ω₁, ω₂, ω₃, ... так, что при каждом <i>n</i> > 1 окружность ω_<i>n</i> касается ветвей параболы и внешним образом окружности ω_<i>n</i>–1 (см. рис.). Найдите радиус окружности σ₁₉₉₈, если известно, что диаметр ω₁ равен 1 и она касается параболы в её вершине. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/109664/problem_109664_img_2.gif"></div>

Докажите, что любую функцию, определённую на всей оси, можно представить в виде суммы двух функций, график каждой из которой имеет ось симметрии.

Сколько корней имеет уравнение<i> sin x=x/</i>100?

а) Известно, что область определения функции  <i>f</i>(<i>x</i>)  – отрезок  [–1, 1]  и  <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = – <i>x</i>  при всех <i>x</i>, а её график является объединением конечного числа точек и интервалов. Нарисовать график такой функции <i>f</i>(<i>x</i>). б) Можно ли это сделать, если область определения функции – интервал  (–1, 1)?  Вся числовая ось?

Даны такие действительные числа  <i>a</i>₁ ≤ <i>a</i>₂ ≤ <i>a</i>₃  и  <i>b</i>₁ ≤ <i>b</i>₂ ≤ <i>b</i>₃,  что <div align="CENTER"><i>a</i>₁ + <i>a</i>₂ + <i>a</i>₃ = <i>b</i>₁ + <i>b</i>₂ + <i>b</i>₃,   <i>a</i>₁<i>a</i>₂ + <i>a</i>₂<i>a</i><s...

На координатной плоскости <i>xOy</i> построена парабола  <i>y = x</i>².  Затем начало координат и оси стёрли.

Как их восстановить с помощью циркуля и линейки (используя имеющуюся параболу)?

На какое максимальное число частей могут разбить координатную плоскость <i>xOy</i> графики 100 квадратных трехчлёнов вида

<i>y = a_nx</i>² + <i>b_nx + c_n</i>  (<i>n</i> = 1, 2, ..., 100)?

Существует ли функция, график которой на координатной плоскости имеет общую точку с любой прямой?

В квадратном уравнении  <i>x</i>² + <i>px + q</i>  коэффициенты <i>p, q</i> независимо пробегают все значения от –1 до 1 включительно.

Найти множество значений, которые при этом принимает действительный корень данного уравнения.

Перед вами часы. Сколько существует положений стрелок, по которым нельзя определить время, если не знать, какая стрелка часовая,

а какая – минутная?

Назовём подмножество $A$ плоскости<i>похожим на прямую</i>, если для некоторой прямой $\ell$ той же плоскости найдётся такое взаимно однозначное соответствие $f\colon\ell\to A$, что для всяких двух точек $X,Y$ на прямой $\ell$ длина отрезка $XY$ отличается от длины отрезка $f(X)f(Y)$ не более, чем на $1$. Верно ли, что любое подмножество плоскости, похожее на прямую, лежит между некоторыми двумя параллельными прямыми?

На улице <i>n</i> домов. Каждый день почтальон идёт на почту, берёт там письма для жителей одного дома и разносит их. Затем он возвращается на почту, берёт письма для жителей другого дома и снова их разносит. И так он обходит все дома. В каком месте нужно построить почту, чтобы почтальону пришлось проходить наименьшее расстояние? Улицу можно считать отрезком прямой.

  а) Решите задачу для  <i>n</i> = 5.

  б) Решите задачу для  <i>n</i> = 6.

  в) Решите задачу для произвольного <i>n</i>.

Дан числовой набор <i>x</i>₁, ..., <i>x_n</i>. Рассмотрим функцию  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65303/problem_65303_img_2.png">.

  а) Верно ли, что функция <i>d</i>(<i>t</i>) принимает наименьшее значение в единственной точке, каков бы ни был набор чисел <i>x</i>₁, ..., <i>x_n</i>?

  б) Сравните значения <i>d</i>(<i>c</i>) и <i>d</i>(<i>m</i>), где  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65303/problem_65303_img_3.png">,  а <i>m</i> – медиана указанного набора.

На плоскости расположены две параболы так, что их оси взаимно перпендикулярны, а сами параболы пересекаются в четырёх точках.

Докажите, что эти четыре точки лежат на одной окружности.