Олимпиадные задачи по математике для 6-7 класса

Можно ли 100 гирь массами 1, 2, 3, ..., 99, 100 разложить на 10 кучек разной массы так, чтобы выполнялось условие: чем тяжелее кучка, тем меньше в ней гирь?

Набор пятизначных чисел ${N_1, \dots, N_k}$ таков, что любое пятизначное число, все цифры которого идут в возрастающем порядке, совпадает хотя бы в одном разряде хотя бы с одним из чисел $N_1, \dots, N_k$. Найдите наименьшее возможное значение $k$.

Среди 18 деталей, выставленных в ряд, какие-то три подряд стоящие весят по 99 г, а все остальные – по 100 г. Двумя взвешиваниями на весах со стрелкой определите все 99-граммовые детали.

Среди 2000 внешне неразличимых шариков половина – алюминиевые массой 10 г, а остальные – дюралевые массой 9,9 г. Требуется выделить две кучки шариков так, чтобы массы кучек были различны, а число шариков в них – одинаково. Каким наименьшим числом взвешиваний на чашечных весах без гирь это можно сделать?

Даны числа 1, 2, ..., <i>N</i>, каждое из которых окрашено либо в чёрный, либо в белый цвет. Разрешается перекрашивать в противоположный цвет любые три числа, одно из которых равно полусумме двух других. При каких <i>N</i> всегда можно сделать все числа белыми?

Докажите, что каждое натуральное число является разностью двух натуральных чисел, имеющих одинаковое количество простых делителей.

(Каждый простой делитель учитывается один раз, например, число 12 имеет два простых делителя: 2 и 3.)

Найдите все такие пары простых чисел <i>p</i> и <i>q</i>, что  <i>p</i>³ – <i>q</i>⁵ = (<i>p + q</i>)².

Имеется 4 монеты, из которых 3 – настоящие, которые весят одинаково, и одна фальшивая, отличающаяся по весу от остальных. Чашечные весы без гирь таковы, что если положить на их чашки равные грузы, то любая из чашек может перевесить, если же грузы различны по массе, то обязательно перетягивает чашка с более тяжелым грузом. Как за три взвешивания наверняка определить фальшивую монету и установить, легче она или тяжелее остальных?

Имеется 8 монет, 7 из которых – настоящие, которые весят одинаково, и одна фальшивая, отличающаяся по весу от остальных. Чашечные весы без гирь таковы, что если положить на их чашки равные грузы, то любая из чашек может перевесить, если же грузы различны по массе, то обязательно перетягивает чашка с более тяжелым грузом. Как за четыре взвешивания наверняка определить фальшивую монету и установить, легче она или тяжелее остальных?

Товарный поезд, отправившись из Москвы в <i>x</i> часов <i>y</i> минут, прибыл в Саратов в <i>y</i> часов <i>z</i> минут. Время в пути составило <i>z</i> часов <i>x</i> минут.

Найдите все возможные значения <i>x</i>.

У Пети всего 28 одноклассников. У каждых двух из 28 различное число друзей в этом классе. Сколько друзей у Пети?

a) Восемь школьников решали восемь задач. Оказалось, что каждую задачу решили пять школьников. Докажите, что найдутся такие два школьника, что каждую задачу решил хотя бы один из них.

б) Если каждую задачу решили четыре ученика, то может оказаться, что таких двоих не найдётся.

Учитель заполнил клетчатую таблицу 5×5 различными целыми числами и выдал по одной её копии Боре и Мише. Боря выбирает наибольшее число в таблице, затем вычёркивает строку и столбец, содержащие это число, затем выбирает наибольшее число из оставшихся, вычёркивает строку и столбец, содержащие это число, и т.д. Миша производит аналогичные операции, каждый раз выбирая наименьшие числа. Может ли учитель так заполнить таблицу, что сумма пяти чисел, выбранных Мишей, окажется больше суммы пяти чисел, выбранных Борей?

Куб размером3×3×3 состоит из 27 единичных кубиков. Можно ли побывать в каждом кубике по одному разу, двигаясь следующим образом: из кубика можно пройти в любой кубик, имеющий с ним общую грань, причём запрещено ходить два раза подряд в одном направлении?

На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Путник встретил троих островитян и спросил каждого из них: ''Сколько рыцарей среди твоих спутников?''. Первый ответил: ''Ни одного''. Второй сказал: ''Один''. Что сказал третий?

Найдите наименьшее четырёхзначное число<tt>СЕЕМ</tt>, для которого существует решение ребусаМЫ + РОЖЬ = СЕЕМ. (Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные.)

Один мальчик 16 февраля 2003 года сказал: "Разность между числами прожитых мною (полных) месяцев и прожитых (полных) лет сегодня впервые стала равна 111". Когда он родился?

Из квадрата 5×5 вырезали центральную клетку. Разрежьте получившуюся фигуру на две части, в которые можно завернуть куб2×2×2.

Можно ли вычеркнуть из произведения  1!·2!·3!·...·100!  один из факториалов так, чтобы произведение оставшихся было квадратом целого числа?

Среди любых десяти из шестидесяти школьников найдётся три одноклассника. Обязательно ли среди всех шестидесяти школьников найдётся

  а) 15 одноклассников;

  б) 16 одноклассников?

Существуют ли 100 таких натуральных чисел, что их сумма равна их наименьшему общему кратному?

(Среди чисел могут быть равные.)

Найдите какие-нибудь пять натуральных чисел, разность каждых двух из которых равна наибольшему общему делителю этой пары чисел.

В строчку выписано 10 целых чисел. Вторая строчка находится так: под каждым числом <i>A</i> первой строчки пишется число, равное количеству чисел первой строчки, которые больше <i>A</i> и при этом стоят правее <i>A</i>. По второй строчке аналогично строится третья строчка и т. д.

  а) Докажите, что все строчки, начиная с некоторой – нулевые (состоят из сплошных нулей).

  б) Каково максимально возможное число ненулевых строчек (содержащих хотя бы одно число, отличное от нуля)?

Муравей ползает по проволочному каркасу куба, при этом он никогда не поворачивает назад.

Может ли случиться, что в одной вершине он побывал 25 раз, а в каждой из остальных – по 20 раз?

Докажите, что существует такой набор из 100 различных натуральных чисел <i>c</i>₁, <i>c</i>₂, ..., <i>c</i>₁₀₀, что для любых двух соседних чисел <i>c_i</i> и <i>c</i>_<i>i</i>+1 этого набора сумма   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98157/problem_98157_img_2.gif">   есть квадрат целого числа.