Олимпиадные задачи по математике - сложность 4-5 с решениями

Треугольники <i>ABC</i> и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ имеют равные площади. Всегда ли можно построить при помощи циркуля и линейки треугольник <i>A</i>₂<i>B</i>₂<i>C</i>₂, равный треугольнику <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ и такой, что прямые <i>AA</i>₂, <i>BB</i>₂ и <i>CC</i>₂ будут параллельны?

В НИИЧАВО работают несколько научных сотрудников. В течение 8-часового рабочего дня сотрудники ходили в буфет, возможно по нескольку раз. Известно, что для каждых двух сотрудников суммарное время, в течение которого в буфете находился ровно один из них, оказалось не менее <i>x</i> часов  (<i>x</i> > 4).  Какое наибольшее количество научных сотрудников могло работать в этот день в НИИЧАВО (в зависимости от <i>x</i>)?

Докажите, что при  <i>n</i> ≥ 5  сечение пирамиды, в основании которой лежит правильный <i>n</i>-угольник, не может являться правильным (<i>n</i>+1)-угольником.

На боковых ребрах<i> SA </i>,<i> SB </i>и<i> SC </i>правильной треугольной пирамиды<i> SABC </i>взяты соответственно точки<i> A₁ </i>,<i> B₁ </i>и<i> C₁ </i>так, что плоскости<i> A₁B₁C₁ </i>и<i> ABC </i>параллельны. Пусть<i> O </i>– центр сферы, проходящей через точки<i> S </i>,<i> A </i>,<i> B </i>и<i> C₁ </i>. Докажите, что прямая<i> SO </i>перпендикулярна плоскости<i> A₁B₁C </i>.

Высоты <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁, <i>CC</i>₁ и <i>DD</i>₁ тетраэдра <i>ABCD</i> пересекаются в центре <i>H</i> сферы, вписанной в тетраэдр <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁.

Докажите, что тетраэдр <i>ABCD</i> – правильный.

Докажите, что если два прямоугольных параллелепипеда имеют равные объемы, то их можно расположить в пространстве так, что любая горизонтальная плоскость, пересекающая один из них, будет пересекать и второй, причем по многоугольнику той же площади.

Окружности <i>S</i>₁ и <i>S</i>₂ пересекаются в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Через точку <i>A</i> окружности <i>S</i>₁ проведены прямые <i>AM</i> и <i>AN</i>, пересекающие окружность <i>S</i>₂ в точках <i>B</i> и <i>C</i>, а через точку <i>D</i> окружности <i>S</i>₂ – прямые <i>DM</i> и <i>DN</i>, пересекающие <i>S</i>₁ в точках <i>E</i> и <i>F</i>, причём точки <i>A, E, F</i> лежат по одну сторону от прямой <i>MN</i>,...

Каждая из окружностей<i> S</i>1,<i> S</i>2и<i> S</i>3касается внешним образом окружности<i> S </i>(в точках<i> A</i>1,<i> B</i>1и<i> C</i>1соответственно) и двух сторон треугольника<i> ABC </i>(см.рис.). Докажите, что прямые<i> AA</i>1,<i> BB</i>1и<i> CC</i>1пересекаются в одной точке.

Пусть<i> a </i>,<i> b </i>и<i> c </i>– стороны треугольника,<i> m_a </i>,<i> m_b </i>и<i> m_c </i>– медианы, проведённые к этим сторонам,<i> D </i>– диаметр окружности, описанной около треугольника. Докажите, что <center><i>

<img src="/storage/problem-media/108204/problem_108204_img_2.gif"> + <img src="/storage/problem-media/108204/problem_108204_img_3.gif">+ <img src="/storage/problem-media/108204/problem_108204_img_4.gif"> <img src="/storage/problem-media/108204/problem_108204_img_5.gif"> </i>6<i>D.

</i></center>

Точки<i> A</i>2,<i> B</i>2и<i> C</i>2– середины высот<i> AA</i>1,<i> BB</i>1и<i> CC</i>1остроугольного треугольника<i> ABC </i>. Найдите сумму углов<i> B</i>2<i>A</i>1<i>C</i>2,<i> C</i>2<i>B</i>1<i>A</i>2и<i> A</i>2<i>C</i>1<i>B</i>2.

Грани правильного октаэдра раскрашены в белый и черный цвет. При этом любые две грани, имеющие общее ребро, покрашены в разные цвета.

Докажите, что для любой точки внутри октаэдра сумма расстояний до плоскостей белых граней равна сумме расстояний до плоскостей черных граней.

В ботаническом справочнике каждое растение характеризуется 100 признаками (каждый признак либо присутствует, либо отсутствует). Растения считаются <i>непохожими</i>, если они различаются не менее, чем по 51 признаку.

  а) Покажите, что в справочнике не может находиться больше 50 попарно непохожих растений.

  б) А может ли быть ровно 50?