Олимпиадные задачи по математике для 5-11 класса

Пусть <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> – длины сторон <i>BC</i>, <i>AC</i>, <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i>,  γ = ∠<i>C</i>.  Докажите, что  <i>c</i> ≥ (<i>a + b</i>) sin ^γ/₂.

Стороны треугольника равны 3, 4 и 5. Биссектрисы внешних углов треугольника продолжены до пересечения с продолжениями сторон.

Докажите, что одна из трёх полученных точек есть середина отрезка, соединяющего две другие.

Внутри угла расположены две окружности с центрами <i>A</i> и <i>B</i>. Они касаются друг друга и двух сторон угла.

Докажите, что окружность с диаметром <i>AB</i> касается сторон угла.

Внутри квадрата <i>ABCD</i> взята точка <i>M</i>. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников  <i>ABM, BCM, CDM</i> и <i>DAM</i> образуют квадрат.

Можно ли отметить на числовой оси 50 отрезков (быть может, перекрывающихся) так, что их длины – 1, 2, 3, ... , 50, а их концы – все целые точки от 1 до 100 включительно?

В таблицу записано девять чисел: <div align="center"><img src="/storage/problem-media/98418/problem_98418_img_2.gif"></div>Известно, что шесть чисел – суммы строк и суммы столбцов таблицы – равны между собой:<div align="center"><i>a</i>₁ + <i>a</i>₂ + <i>a</i>₃ = <i>b</i>₁ + <i>b</i>₂ + <i>b</i>₃ = <i>c</i>₁ + <i>c</i>₂ + <i>c</i>₃ = <i>a</i>₁ + <i>b</i>₁ + &...

Можно ли подобрать два многочлена <i>P</i>(<i>x</i>) и <i>Q</i>(<i>x</i>) с целыми коэффициентами так, что  <i>P – Q</i>,  <i>P</i> и  <i>P + Q</i>  – квадраты некоторых многочленов (причём <i>Q</i> не получается умножением <i>P</i> на число)?

Точка <i>P</i> лежит на описанной окружности треугольника <i>ABC</i>. Построим треугольник <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁, стороны которого параллельны отрезкам <i>PA, PB, PC</i>

(<i>B</i>₁<i>C</i>₁ || <i>PA,  C</i>₁<i>A</i>₁ || <i>PB,  A</i>₁<i>B</i>₁ || <i>PC</i>). Через точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ проведены прямые, пар...

Правильный шестиугольник разрезан на <i>N</i> равновеликих параллелограммов. Доказать, что <i>N</i> делится на 3.

а) Из произвольной точки <i>M</i> внутри правильного <i>n</i>-угольника проведены перпендикуляры  <i>MK</i>₁, <i>MK</i>₂, ..., <i>MK_n</i>  к его сторонам (или их продолжениям). Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/97793/problem_97793_img_2.gif">   (<i>O</i> – центр <i>n</i>-угольника). б) Докажите, что сумма векторов, проведённых из любой точки <i>M</i> внутри правильного тетраэдра перпендикулярно к его граням, равна   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/97793/problem_97793_img_3.gif">   где <i>O</i> – центр тетраэдра....

<i>M</i> – множество точек на плоскости. Точка <i>O</i> называется "почти центром симметрии" множества <i>M</i>, если из <i>M</i> можно выбросить одну точку так, что для оставшегося множества <i>O</i> является центром симметрии в обычном смысле. Сколько "почти центров симметрии" может иметь конечное множество на плоскости?

Дано число<i>x</i>, большее 1. Обязательно ли имеет место равенство<div align="CENTER"> [$\displaystyle \sqrt{[\sqrt{x}]}$] = [$\displaystyle \sqrt{\sqrt{x}}$]? </div>

Из произвольной точки <i>M</i> внутри равностороннего треугольника опущены перпендикуляры <i>MK</i>₁, <i>MK</i>₂, <i>MK</i>₃ на его стороны. Докажите, что <!-- MATH \begin{displaymath} \overrightarrow{MK_{1}} + \overrightarrow{MK_{2}} + \overrightarrow{MK_{3}} = \frac{3}{2}\cdot \overrightarrow{MO}, \end{displaymath} --> <div align="CENTER"> $\displaystyle \overrightarrow{MK_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MK_{2}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MK_{3}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$^.$\displaystyle \overrightarrow{MO}$, </div>где<i>O</i>— центр треугольника.

Точка внутри правильного 2<i>n</i>-угольника соединена с вершинами. Возникшие 2<i>n</i>треугольников раскрашены попеременно в голубой и красный цвет. Докажите, что сумма площадей голубых треугольников равна сумме площадей красных     а) для  <i>n</i>= 4,   б) для  <i>n</i>= 3,   в) для произвольного<i>n</i>.

Пусть <i>P</i> и <i>Q</i> – середины сторон <i>AB</i> и <i>CD</i> четырёхугольника <i>ABCD, M</i> и <i>N</i> – середины диагоналей <i>AC</i> и <i>BD</i>.

Докажите, что если <i>MN</i> и <i>PQ</i> перпендикулярны, то  <i>BC = AD</i>.

Окружность <i>S</i>₂ проходит через центр <i>O</i> окружности <i>S</i>₁ и пересекает её в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Через точку <i>A</i> проведена касательная к окружности <i>S</i>₂. Точка <i>D</i> – вторая точка пересечения этой касательной с окружностью <i>S</i>₁. Докажите, что  <i>AD = AB</i>.