Назад

Олимпиадная задача по геометрии: биссектрисы внешних углов треугольника (8-9 класс)

Задача 208058 • Сложность: 2 • 8-9 класс
Задача

Стороны треугольника равны 3, 4 и 5. Биссектрисы внешних углов треугольника продолжены до пересечения с продолжениями сторон.

Докажите, что одна из трёх полученных точек есть середина отрезка, соединяющего две другие.

Решение

Решение 1:   Как известно, треугольник со сторонами 3, 4 и 5 – прямоугольный. Пусть его вершины A, B и C имеют координаты  (4, 0),  (0, 3)  и  (0, 0)  соответственно; A2, B2 и C2 – основания биссектрис внешних углов (см. рис.).

  По свойству биссектрисы  C2B:C2A= 3 : 4,  то есть  C2B= 3BA,  поэтому точкаC2имеет координаты  (–12, 12).  Аналогично находим координаты точек A2(0, –12)  и  B2(–6, 0).  Последняя точка является серединой отрезка с концами в точкахC2иA2.

Решение 2:   Поместим в вершины A и C массы –3 и 5 соответственно, а вершину B – две массы 4 и –4 (образовав две материальные точки B и B'). Найдём центр масс системы четырёх точек двумя способами.

  1) Точки B и B' взаимно уничтожаются, поэтому указанный центр масс совпадёт с точкой B2 – центром масс точек A и C.

  2) Центр масс точек A и B – это точка C2, центр масс точек С и B' – точка A2. Поскольку сумма масс каждой пары равна 1, общий центр масс находится в середине отрезка A2C2.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет