Олимпиадная задача по математике для 7-9 классов: равенство произведений строк и столбцов в таблице

Решение 1:   Первый способ. Рассмотрим верное равенство

  И в левой части этого равенства, и в правой встречаются кубы всех девяти чиселa₁, ...,c₃. Коэффициенты при    в левой и правой частях равны соответственно  3(b₁+c₁)  и  3(a₂+a₃).  Эти числа равны, поскольку  a₁+a₂+a₃=a₁+b₁+c₁.  Аналогично равны коэффициенты при    Значит, из равенства (*) следует равенство  6a₁b₁c₁+ 6a₂b₂c₂+ 6a₃b₃c₃= 6a₁a₂a₃+ 6b₁b₂b₃+ 6c₁c₂c₃.   Второй способ. Пусть  S = a₁ + a₂ + a₃.  Заметим, что Складывая аналогичные тождества, получим, что каждое из выражений  6(a₁a₂a₃+b₁b₂b₃+c₁c₂c₃)  и  6(a₁b₁c₁+a₂b₂c₂+a₃b₃c₃)  равно

Решение 2:

  Доказываемое соотношение можно записать в виде равенства нулю определителя:     Но он не изменится, если из первой и второй строки вычесть третью:  

  В полученном определителе все числа в первой строке равны. Например,

a₁ – c₂ = c₃ – b₁   ⇔   a₁ + b₁ = c₂ + c₃   ⇔   a₁ + b₁ + c₁ = c₁ + c₂ + c₃.   Аналогично проверяется равенство всех чисел во второй строке. Таким образом, в этом определителе две первые строки пропорциональны. Следовательно, он равен нулю.

Ответ задачи отсутствует