Олимпиадная задача по теории чисел и геометрии: 50 отрезков на оси для классов 10-11
Задача
Можно ли отметить на числовой оси 50 отрезков (быть может, перекрывающихся) так, что их длины – 1, 2, 3, ... , 50, а их концы – все целые точки от 1 до 100 включительно?
Решение
Предположим, это сделать удалось. У 25 отрезков чётной длины концы находятся в точках с координатами одной чётности, у 25 отрезков нечётной длины – в точках с координатами разной чётности. Значит, количество "нечётных" концов нечётно, что противоречит условию (среди чисел от 1 до 100 нечётных – 50).
Ответ
Нельзя.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет