Олимпиадные задачи по математике для 10-11 класса - сложность 2 с решениями

<i>P</i>(<i>x</i>) и <i>Q</i>(<i>x</i>) – приведённые квадратные трёхчлены, имеющие по два различных корня. Оказалось, что сумма двух чисел, получаемых при подстановке корней трёхчлена <i>P</i>(<i>x</i>) в трёхчлен <i>Q</i>(<i>x</i>), равна сумме двух чисел, получаемых при подстановке корней трёхчлена <i>Q</i>(<i>x</i>) в трёхчлен <i>P</i>(<i>x</i>). Докажите, что дискриминанты трёхчленов <i>P</i>(<i>x</i>) и <i>Q</i>(<i>x</i>) равны.

Три натуральных числа таковы, что последняя цифра суммы любых двух из них является последней цифрой третьего числа. Произведение этих трёх чисел записали на доске, а затем всё, кроме трёх последних цифр этого произведения, стёрли. Какие три цифры могли остаться на доске?

Ненулевые числа <i>a</i> и <i>b</i> таковы, что уравнение  <i>a</i>(<i>x – a</i>)² + <i>b</i>(<i>x – b</i>)² = 0  имеет единственное решение. Докажите, что  |<i>a| = |b</i>|.

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник <i>ABC</i> с гипотенузой <i>AB</i>, касается его сторон <i>BC, CA, AB</i> в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ соответственно. Пусть <i>B</i>₁<i>H</i> – высота треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁. Докажите, что точка <i>H</i> лежит на биссектрисе угла <i>CAB</i>.

Даны натуральные числа <i>M</i> и <i>N</i>, большие десяти, состоящие из одинакового количества цифр и такие, что  <i>M</i> = 3<i>N</i>.  Чтобы получить число <i>M</i>, надо в числе <i>N</i> к одной из цифр прибавить 2, а к каждой из остальных цифр прибавить по нечётной цифре. Какой цифрой могло оканчиваться число <i>N</i>?

Пусть  <i>a</i>₁, ..., <i>a</i>₁₁  – различные натуральные числа, не меньшие 2, сумма которых равна 407.

Может ли сумма остатков от деления некоторого натурального числа <i>n</i> на 22 числа  <i>a</i>₁, ..., <i>a</i>₁₁, 4<i>a</i>₁, 4<i>a</i>₂, ..., 4<i>a</i>₁₁  равняться 2012?

В волейбольном турнире с участием 73 команд каждая команда сыграла с каждой по одному разу. В конце турнира все команды разделили на две непустые группы так, что каждая команда первой группы одержала ровно <i>n</i> побед, а каждая команда второй группы – ровно <i>m</i> побед. Могло ли оказаться, что  <i>m</i> ≠ <i>n</i>?

Через вершины основания четырёхугольной пирамиды <i>SABCD</i> проведены прямые, параллельные противоположным боковым рёбрам (через вершину <i>A</i> – параллельно <i>SC</i>, и так далее). Эти четыре прямые пересеклись в одной точке. Докажите, что четырёхугольник <i>ABCD</i> – параллелограмм.

Дан выпуклый пятиугольник. Петя выписал в тетрадь значения синусов всех его углов, а Вася – значения косинусов всех его углов. Оказалось, что среди выписанных Петей чисел нет четырёх различных. Могут ли все числа, выписанные Васей, оказаться различными?

За круглым столом сидят 30 человек – рыцари и лжецы (рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут). Известно, что у каждого из них за этим же столом есть ровно один друг, причём у рыцаря этот друг – лжец, а у лжеца этот друг – рыцарь (дружба всегда взаимна). На вопрос "Сидит ли рядом с вами ваш друг?" сидевшие через одного ответили "Да". Сколько из остальных могли также ответить "Да"?

Даны 2011 ненулевых целых чисел. Известно, что сумма любого из них с произведением оставшихся 2010 чисел отрицательна. Докажите, что если произвольным образом разбить все данные числа на две группы и перемножить числа в группах, то сумма двух полученных произведений также будет отрицательной.

Косинусы углов одного треугольника соответственно равны синусам углов другого треугольника.

Найдите наибольший из шести углов этих треугольников.

Какова наибольшая длина арифметической прогрессии из натуральных чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a_n</i> с разностью 2, обладающей свойством:  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110093/problem_110093_img_2.gif">  – простое при всех  <i>k</i> = 1, 2, ..., <i>n</i>?

Приведённый квадратный трёхчлен  <i>f</i>(<i>x</i>) имеет два различных корня. Может ли так оказаться, что уравнение  <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = 0  имеет три различных корня, а уравнение  <i>f</i>(<i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>))) = 0  – семь различных корней?

На доску последовательно выписываются числа  <i>a</i>₁ = 1,  <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ... по следующим правилам: <i>a</i>_<i>n</i>+1 = <i>a_n</i> – 2,  если число  <i>a_n</i> – 2  – натуральное и еще не выписано на доску, в противном случае  <i>a</i>_<i>n</i>+1 = <i>a_n</i> + 3.  Докажите, что все квадраты натуральных чисел появятся в этой последовательности при прибавлении 3 к предыдущему числу.

Известно, что уравнение  <i>ax</i>⁵ + <i>bx</i>⁴ + <i>c</i> = 0  имеет три различных корня. Докажите, что уравнение  <i>cx</i>⁵ + <i>bx + a</i> = 0  также имеет три различных корня.

Число <i>x</i> таково, что обе суммы  <i>S</i> = sin 64<i>x</i> + sin 65<i>x</i>  и  <i>C</i> = cos 64<i>x</i> + cos 65<i>x</i>  – рациональные числа.

Докажите, что в одной из этих сумм оба слагаемых рациональны.

Пусть <i>P</i>(<i>x</i>) – многочлен степени  <i>n</i> ≥ 2  с неотрицательными коэффициентами, а <i>a, b</i> и <i>c</i> – длины сторон некоторого остроугольного треугольника.

Докажите, что числа  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66160/problem_66160_img_2.gif">  также являются длинами сторон некоторого остроугольного треугольника.

В произведении пяти натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 3. Могло ли произведение при этом увеличиться ровно в 15 раз?

В произведении трёх натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 3. Могло ли произведение при этом увеличиться ровно на 2016?

Даны квадратные трёхчлены  <i>f</i>₁(<i>x</i>),  <i>f</i>₂(<i>x</i>), ...,  <i>f</i>₁₀₀(<i>x</i>) с одинаковыми коэффициентами при <i>x</i>², одинаковыми коэффициентами при <i>x</i>, но различными свободными членами; у каждого из них есть по два корня. У каждого трёхчлена <i>f_i</i>(<i>x</i>) выбрали один корень и обозначили его через <i>x_i</i>. Какие значения может принимать сумма  <i>f</i>₂(<i>x</i>₁) + <i>f</i>₃(<i>x</i><sub&gt...

Существует ли такое положительное число α, что при всех действительных <i>x</i> верно неравенство   |cos <i>x</i>| + |cos α<i>x</i>| > sin <i>x</i> + sin α<i>x</i>?

К натуральному числу <i>N</i> прибавили наибольший его делитель, меньший <i>N</i>, и получили степень десятки. Найдите все такие <i>N</i>.

Числа <i>x, y</i> и <i>z</i> таковы, что все три числа  <i>x + yz,  y + zx</i>  и  <i>z + xy</i>  рациональны, а  <i>x</i>² + <i>y</i>² = 1.  Докажите, что число <i>xyz</i>² также рационально.

На доске написано выражение  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64635/problem_64635_img_2.png">,  где <i>a, b, c, d, e, f</i> – натуральные числа. Если число <i>a</i> увеличить на 1, то значение этого выражения увеличится на 3. Если в исходном выражении увеличить число <i>c</i> на 1, то его значение увеличится на 4; если же в исходном выражении увеличить число <i>e</i> на 1, то его значение увеличится на 5. Какое наименьшее значение может иметь произведение <i>bdf</i>?