Назад
Задача 165693 • Сложность: 2 • 9-11 класс
Задача

Даны квадратные трёхчлены  f1(x),  f2(x), ...,  f100(x) с одинаковыми коэффициентами при x², одинаковыми коэффициентами при x, но различными свободными членами; у каждого из них есть по два корня. У каждого трёхчлена fi(x) выбрали один корень и обозначили его через xi. Какие значения может принимать сумма  f2(x1) + f3(x2) + ... + f100(x99) + f1(x100)?

Авторы:
Агаханов Н. Х.
Разделы:
Многочлены Последовательности
Источники:
Олимпиады и турниры Всероссийская олимпиада по математике 2015-2016 Региональный этап
Количество версий:
1
Решение

  Пусть i-й трёхчлен имеет вид  fi(x) = ax² + bx + ci.  Тогда   f2(x1) = f1(x1) + (c2 – c1) = c2 – c1,  поскольку  f1(x1) = 0.  Аналогично получаем равенства

f3(x2) = c3 – c2,  ...,  f100(x99) = c100 – c99  и  f1(x100) = c1 – c100.

  Складывая, получаем  f2(x1) + f3(x2) + ... + f1(x100) = (c2 – c1) + ... + (c1 – c100) = 0.

Ответ

Только 0.

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет