Олимпиадная задача по планиметрии: косинусы и синусы углов двух треугольников
Задача
Косинусы углов одного треугольника соответственно равны синусам углов другого треугольника.
Найдите наибольший из шести углов этих треугольников.
Решение
Из условия следует, что углы α1, α2, α3 первого треугольника – острые (cos αi = sin βi > 0, где β1, β2, β3 – углы второго треугольника). Поэтому βi = 90° ± αi,
i = 1, 2, 3. Из равенства 180° = β1 + β2 + β3 = 270° + (± α1 ± α2 ± α3), где α1 + α2 + α3 = 180°, следует, что в скобках есть как знаки +, так и знаки –.
Кроме того, во втором треугольнике не может быть двух тупых углов, поэтому в скобках один знак + и два знака –.
Значит, с точностью до перестановки 180° = 270° + (α1 – α2 – α3), откуда α1 = 45°, то есть β1 = 135°. Это единственный тупой угол второго треугольника, а первый треугольник – остроугольный; значит, этот угол – наибольший.
Ответ
135°.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь