Пусть m – наибольший делитель числа N, меньший, чем N. Тогда  n = mp,  где p – наименьший простой делитель числа N. Имеем

 m(p + 1) = N + m = 10^k.  Число в правой части не делится на 3, поэтому  p > 2.  Отсюда следует, что N нечётно, а тогда и m нечётно. Поскольку 10^k делится на m,  m = 5^s.

  Если  m = 1,  то  N = p = 10^k – 1,  что невозможно, так как  10^k – 1  делится на 9, то есть не является простым. Значит,  s ≥ 1,  число N кратно 5, и потому  p ≤ 5.

  Если  p = 3,  то  4·5^s = 10^k,  откуда  k = 2,  m = 25  и  N = 75.

  Если же  p = 5,  то  p + 1 = 6,  и число 10^k делится на 3, что невозможно.