Олимпиадные задачи из источника «Олимпиады и турниры» для 7-8 класса - сложность 4-5 с решениями

Петя и Вася играют в следующую игру. Петя загадывает натуральное число <i>x</i> с суммой цифр 2012. За один ход Вася выбирает любое натуральное число <i>a</i> и узнаёт у Пети сумму цифр числа  |<i>x – a</i>|.  Какое минимальное число ходов необходимо сделать Васе, чтобы гарантированно определить <i>x</i>?

Дан треугольник <i>ABC</i>. Прямая <i>l</i> касается вписанной в него окружности. Обозначим через <i>l_a, l_b, l_c</i> прямые, симметричные <i>l</i> относительно биссектрис внешних углов треугольника. Докажите, что треугольник, образованный этими прямыми, равен треугольнику <i>ABC</i>.

В клетках таблицы <i>m</i>×<i>n</i> расставлены числа. Оказалось, что в каждой клетке записано количество соседних с ней по стороне клеток, в которых стоит единица. При этом не все числа – нули. При каких числах <i>m</i> и <i>n</i>, больших 100, такое возможно?

Клетчатый квадрат 2010×2010 разрезан на трёхклеточные уголки. Докажите, что можно в каждом уголке отметить по клетке так, чтобы в каждой вертикали и в каждой горизонтали было поровну отмеченных клеток.

Назовём компанию <i>k-неразбиваемой</i>, если при любом разбиении её на <i>k</i> групп в одной из групп найдутся два знакомых человека. Дана 3-неразбиваемая компания, в которой нет четырёх попарно знакомых человек. Докажите, что её можно разделить на две компании, одна из которых 2-неразбиваемая, а другая – 1-неразбиваемая.

В некоторых клетках доски 100×100 стоит по фишке. Назовём клетку <i>красивой</i>, если в соседних с ней по стороне клетках стоит чётное число фишек.

Может ли ровно одна клетка доски быть красивой?

Оля и Максим оплатили путешествие по архипелагу из 2009 островов, где некоторые острова связаны двусторонними маршрутами катера. Они путешествуют, играя. Сначала Оля выбирает остров, на который они прилетают. Затем они путешествуют вместе на катерах, по очереди выбирая остров, на котором еще не были (первый раз выбирает Максим). Кто не сможет выбрать остров, проиграл. Докажите, что Оля может выиграть.

На клетчатую плоскость положили 2009 одинаковых квадратов, стороны которых идут по сторонам клеток. Затем отметили все клетки, которые покрыты нечётным числом квадратов. Докажите, что отмеченных клеток не меньше, чем клеток в одном квадрате.

Две команды шахматистов одинаковой численности сыграли матч: каждый сыграл по одному разу с каждым из другой команды. В каждой партии давали 1 очко за победу, ½ – за ничью и 0 – за поражение. В итоге команды набрали поровну очков. Докажите, что какие-то два участника матча тоже набрали поровну очков, если в обеих командах было:

  а) по 5 шахматистов;

  б) произвольное равное число шахматистов.

Противоположные стороны выпуклого шестиугольника параллельны. Hазовём <i>высотой</i> такого шестиугольника отрезок с концами на прямых, содержащих противолежащие стороны и перпендикулярный им. Докажите, что вокруг этого шестиугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда его высоты можно параллельно перенести так, чтобы они образовали треугольник.

Фиксированы две окружности <i>w</i>₁ и <i>w</i>₂, одна их внешняя касательная <i>l</i> и одна их внутренняя касательная <i>m</i>. На прямой <i>m</i> выбирается точка <i>X</i>, а на прямой <i>L</i> строятся точки <i>Y</i> и <i>Z</i> так, что <i>XY</i> и <i>XZ</i> касаются <i>w</i>₁ и <i>w</i>₂ соответственно, а треугольник <i>XYZ</i> содержит окружности <i>w</i>₁ и <i>w</i>₂. Докажите, что центры окружностей, вписанных в треугольники <i>XYZ</i>, лежат...

Cерединные перпендикуляры к сторонам <i>BC</i> и <i>AC</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i> пересекают прямые <i>AC</i> и <i>BC</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Пусть точка <i>C</i> движется по описанной окружности треугольника <i>ABC</i>, оставаясь в одной полуплоскости относительно <i>AB</i> (при этом точки <i>A</i> и <i>B</i> неподвижны). Докажите, что прямая <i>MN</i> касается фиксированной окружности.

За круглым столом заседают <i>N</i> рыцарей. Каждое утро чародей Мерлин сажает их в другом порядке. Начиная со второго дня Мерлин разрешил рыцарям делать в течение дня сколько угодно пересадок такого вида: два сидящих рядом рыцаря меняются местами, если только они не были соседями в первый день. Рыцари стараются сесть в том же порядке, что и в какой-нибудь из предыдущих дней: тогда заседания прекратятся. Какое наибольшее число дней Мерлин гарантированно может проводить заседания?

(Рассадки, получающиеся друг из друга поворотом, считаются одинаковыми. Мерлин за столом не сидит.)

Для прохождения теста тысячу мудрецов выстраивают в колонну. Из колпаков с номерами от 1 до 1001 один прячут, а остальные в случайном порядке надевают на мудрецов. Каждый видит только номера на колпаках всех впереди стоящих. Далее мудрецы по порядку от заднего к переднему называют вслух целые числа. Каждое число должно быть от 1 до 1001, причём нельзя называть то, что уже было сказано. Результат теста – число мудрецов, назвавших номер своего колпака. Мудрецы заранее знали условия теста и могли договориться, как действовать.

  а) Могут ли они гарантировать результат более 500?

  б) Могут ли они гарантировать результат не менее 999?

Дан правильный 17-угольник <i>A</i>₁... <i>A</i>₁₇. Докажите, что треугольники, образованные прямыми <i>A</i>₁<i>A</i>₄, <i>A</i>₂<i>A</i>₁₀, <i>A</i>₁₃<i>A</i>₁₄ и <i>A</i>₂<i>A</i>₃, <i>A</i>₄<i>A</i>₆, <i>A</i>₁₄<i>A</i>₁₅, равны.

Постройте четырёхугольник, в который можно вписать и около которого можно описать окружность, по радиусам этих окружностей и углу между диагоналями.

Дан четырёхугольник <i>ABCD</i>, противоположные стороны которого пересекаются в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Две прямые, проходящие через эти точки, пересекают стороны четырёхугольника в четырёх точках, являющихся вершинами параллелограмма. Докажите, что центр этого параллелограмма лежит на прямой, соединяющей середины диагоналей <i>ABCD</i>.

Дан треугольник <i>ABC</i> и точки <i>X, Y</i>, не лежащие на его описанной окружности Ω. Пусть <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ – проекции <i>X</i> на <i>BC, CA, AB</i>, а <i>A</i>₂, <i>B</i>₂, <i>C</i>₂ – проекции <i>Y</i>. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ на, соответственно, <i>B</i>₂<i>C</i>₂, <i>C</...

Через вершины треугольника <i>ABC</i> проводятся три произвольные параллельные прямые <i>d_a, d_b, d_c</i>. Прямые, симметричные <i>d_a, d_b, d_c</i> относительно <i>BC, CA, AB</i> соответственно, образуют треугольник <i>XYZ</i>. Найдите геометрическое место центров вписанных окружностей таких треугольников.

Треугольники <i>ABC</i> и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ имеют равные площади. Всегда ли можно построить при помощи циркуля и линейки треугольник <i>A</i>₂<i>B</i>₂<i>C</i>₂, равный треугольнику <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ и такой, что прямые <i>AA</i>₂, <i>BB</i>₂ и <i>CC</i>₂ будут параллельны?

По кругу стоят2009целых неотрицательных чисел, не превышающих 100. Разрешается прибавить по1к двум соседним числам, причем с любыми двумя соседними числами эту операцию можно проделать не более<i> k </i> раз. При каком наименьшем<i> k </i>все числа гарантированно можно сделать равными?

В треугольнике<i> ABC </i>угол<i> A </i>равен60<i>^o </i>. Пусть<i> BB₁ </i>и<i> CC₁ </i> — биссектрисы этого треугольника. Докажите, что точка, симметричная вершине A относительно прямой<i> B₁C₁ </i>, лежит на стороне<i> BC </i>.

Через каждую вершину четырехугольника проведена прямая, проходящая через центр вписанной в него окружности. Три из этих прямых обладают тем свойством, что каждая из них делит площадь четырехугольника на две равновеликие части. a) Докажите, что и четвертая прямая обладает тем же свойством. б) Какие значения могут принимать углы этого четырехугольника, если один из них равен72<i>^o </i>?

Стороны<i> BC </i>и<i> AC </i>треугольника<i> ABC </i>касаются соответствующих вневписанных окружностей в точках<i> A₁ </i>,<i> B₁ </i>. Пусть<i> A₂ </i>,<i> B₂ </i>— ортоцентры треугольников<i> CAA₁ </i>и<i> CBB₁ </i>. Докажите, что прямая<i> A₂B₂ </i>перпендикулярна биссектрисе угла<i> C </i>.

Используя в качестве чисел любое количество монет достоинством 1, 2, 5 и 10 рублей, а также (бесплатные) скобки и знаки четырех арифметических действий, составьте выражение со значением 2009, потратив как можно меньше денег.