Олимпиадные задачи из источника «Олимпиады и турниры» для 5-8 класса - сложность 2 с решениями

Можно ли нарисовать 1006 различных 2012-угольников, у которых все вершины общие, но при этом ни у каких двух нет ни одной общей стороны?

В пять горшочков, стоящих в ряд, Кролик налил три килограмма мёда (не обязательно в каждый и не обязательно поровну). Винни-Пух может взять любые два горшочка, стоящие рядом. Какое наибольшее количество мёда сможет гарантированно съесть Винни-Пух?

Для игры в шляпу Надя хочет разрезать лист бумаги на 48 одинаковых прямоугольников. Какое наименьшее количество разрезов ей придется сделать, если любые куски бумаги можно перекладывать, но нельзя сгибать, а Надя способна резать одновременно сколько угодно слоёв бумаги? (Каждый разрез – прямая линия от края до края куска.)

Если каждой девочке дать по одной шоколадке, а каждому мальчику по две, то шоколадок хватит. А если каждому мальчику дать по одной шоколадке, а каждой девочке по две, то их не хватит. А если девочкам не давать вообще, то хватит ли каждому мальчику по три шоколадки?

Карлсон открыл школу, и 1 сентября во всех трёх первых классах было по три урока: Курощение, Низведение и Дуракаваляние. Один и тот же предмет в двух классах одновременно идти не может. Курощение в 1Б было первым уроком. Учитель Дуракаваляния похвалил учеников 1Б: "У вас получается еще лучше, чем у 1А". Низведение на втором уроке было не в 1А. В каком классе валяли дурака на последнем уроке?

Из каждого клетчатого квадрата со стороной 3 клетки вырезается фигура из пяти клеток с таким же периметром, как у квадрата, но площадью 5 клеток. Саша утверждает, что сможет вырезать семь таких различных фигур (никакие две из них не совместятся при наложении, даже если фигуры переворачивать). Не ошибается ли он?

B ряд лежат 1000 конфет. Сначала Вася съел девятую конфету слева, после чего съедал каждую седьмую конфету, двигаясь вправо. После этого Петя съел седьмую слева из оставшихся конфет, а затем съедал каждую девятую из них, также двигаясь вправо. Сколько конфет после этого осталось?

Биссектрисы треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>I</i>,  ∠<i>ABC</i> = 120°.  На продолжениях сторон <i>AB</i> и <i>CB</i> за точку <i>B</i> отмечены соответственно точки <i>P</i> и <i>Q</i> так, что  <i>AP = CQ = AC</i>.  Докажите, что угол <i>PIQ</i> – прямой.

Можно ли в записи  2013² – 2012² – ... – 2² – 1²  некоторые минусы заменить на плюсы так, чтобы значение получившегося выражения стало равно 2013?

На рисунке приведены три примера показаний исправных электронных часов. Сколько палочек могут перестать работать, чтобы время всегда можно было определить однозначно? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/117005/problem_117005_img_2.gif"></div>

Разрежьте по клеточкам квадрат 7×7 на девять прямоугольников (не обязательно различных), из которых можно будет сложить любой прямоугольник со сторонами, не превосходящими 7.

Два фокусника показывают зрителю такой фокус. У зрителя есть 24 карточки, пронумерованные числами от 1 до 24. Он выбирает из них 13 карточек и передаёт первому фокуснику. Тот возвращает зрителю две из них. Зритель добавляет к этим двум одну из оставшихся у него 11 карточек и, перемешав, передаёт эти три карточки второму фокуснику. Каким образом фокусники могут договориться так, чтобы второй всегда с гарантией мог определить, какую из трёх карточек добавил зритель?

Из квадратного листа бумаги сложили треугольник (см. рисунки). Найдите отмеченный угол. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/117002/problem_117002_img_2.gif"></div>

В семье весёлых гномов папа, мама и ребёнок. Имена членов семьи: Саша, Женя и Валя. За обеденным столом два гнома сделали по два заявления.

  Валя: "Женя и Саша разного пола. Женя и Саша – мои родители".

  Саша: "Я – отец Вали. Я – дочь Жени".

Восстановите имя и отчество гнома-ребёнка, если известно, что каждый гном один раз сказал правду, и один раз пошутил.

Астролог считает, что 2013 год <i>счастливый</i>, потому что 2013 нацело делится на сумму  20 + 13.

Будет ли когда-нибудь два счастливых года подряд?

На поверхности куба проведена замкнутая восьмизвенная ломаная, вершины которой совпадают с вершинами куба.

Какое наименьшее количество звеньев этой ломаной может совпасть с рёбрами куба?

В треугольнике <i>ABC</i> на стороне <i>AB</i> выбрана точка <i>K</i> и проведены биссектриса <i>KE</i> треугольника <i>AKC</i> и высота <i>KH</i> треугольника <i>BKC</i>. Оказалось, что угол <i>EKH</i> – прямой. Найдите <i>BC</i>, если  <i>HC</i> = 5.

Убирая детскую комнату к приходу гостей, мама нашла девять носков. Среди каждых четырёх из этих носков хотя бы два принадлежали одному ребёнку, а среди каждых пяти не более трёх имели одного хозяина. Сколько могло быть детей и сколько носков могло принадлежать каждому ребёнку?

Два приведённых квадратных трёхчлена имеют общий корень, а дискриминант их суммы равен сумме их дискриминантов.

Докажите, что тогда дискриминант хотя бы одного из этих двух трёхчленов равен нулю.

В кафе Цветочного города автомат выдаёт пончик, если ввести в него число <i>x</i>, при котором значение выражения  <i>x</i>² – 9<i>x</i> + 13  отрицательно. А если ввести число <i>x</i>, при котором отрицательно значение выражения  <i>x</i>² + <i>x</i> – 5,  то автомат выдаёт сироп. Сможет ли Незнайка, введя в автомат всего одно число, получить и то и другое?

Известно, что среди 63 монет есть 7 фальшивых. Все фальшивые монеты весят одинаково, все настоящие монеты также весят одинаково, и фальшивая монета легче настоящей. Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь определить 7 настоящих монет?

Марсиане делят сутки на 13 часов. После того, как <i>Марсовский Заяц</i> уронил часы в чай, у них изменилась скорость вращения секундной стрелки, а скорость вращения других стрелок осталась прежней. Известно, что каждую полночь все три стрелки совпадают. Сколько всего за сутки может быть таких моментов времени, когда три стрелки совпадут? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116973/problem_116973_img_2.gif"></div>

Малыш и Карлсон съели бочку варенья и корзину печенья, начав и закончив одновременно. Сначала Малыш ел печенье, а Карлсон – варенье, потом (в какой-то момент) они поменялись. Карлсон и варенье, и печенье ел в три раза быстрее Малыша. Какую часть варенья съел Карлсон, если печенья они съели поровну?

Вася выписал все слова (не обязательно осмысленные), которые получаются вычеркиванием ровно двух букв из слова <i>ИНТЕГРИРОВАНИЕ</i>, а Маша сделала то же самое со словом <i>СУПЕРКОМПЬЮТЕР</i>. У кого получилось больше слов?

Пусть на плоскости отмечено несколько точек. Назовём прямую <i>нечестной</i>, если она проходит ровно через три отмеченные точки и по разные стороны от неё отмеченных точек не поровну. Можно ли отметить 7 точек и провести для них 5 нечестных прямых?