Олимпиадные задачи из источника «6 (2013 год)»
6 (2013 год)
НазадВдоль дороги стоит 9 фонарей. Если перегорел один из них, а соседние светят, то дорожная служба не беспокоится. Но если перегорают два фонаря подряд, то дорожная служба сразу меняет все перегоревшие фонари. Каждый фонарь перегорает независимо от других.
а) Найдите вероятность того, что при очередной замене придётся поменять ровно 4 фонаря.
б) Найдите математическое ожидание числа фонарей, которые придётся поменять при очередной замене.
Если один человек тратит в очереди одну минуту на ожидание, будем говорить, что бесцельно затрачена одна человеко-минута. В очереди в банке стоит восемь человек, из них пятеро планируют простые операции, занимающие 1 минуту, а остальные планируют длительные операции, занимающие 5 минут. Найдите:
а) наименьшее и наибольшее возможное суммарное количество бесцельно затраченных человеко-минут;
б) математическое ожидание количества бесцельно затраченных человеко-минут, при условии, что клиенты встают в очередь в случайном порядке.
Башня в замке короля Артура увенчана крышей, которая представляет собой треугольную пирамиду, у которой все плоские углы при вершине – прямые. Три ската крыши покрашены в разные цвета. Красный скат крыши наклонён к горизонтали под углом α, а синий – под углом β. Найдите вероятность того, что дождевая капля, вертикально упавшая на крышу в случайном месте, упала на зелёный скат. <div align="center"><img align="middle" src="/storage/problem-media/65357/problem_65357_img_2.png"></div>
На столе разложена колода игральных карт (например, в ряд). Поверх каждой карты положили карту другой колоды. Некоторые карты, возможно, совпали. Найдите:
а) математическое ожидание числа совпадений;
б) дисперсию числа совпадений.
Вероятность рождения двойняшек в Швамбрании равна <i>p</i>, тройняшки в Швамбрании не рождаются.
а) Оцените вероятность того, что встреченный на улице швамбранец – один из пары двойняшек?
б) В некоторой швамбранской семье трое детей. Какова вероятность того, что среди них есть пара двойняшек?
в) В школах швамбранских двойняшек обязательно зачисляют в один класс. Всего в Швамбрании <i>N</i> первоклассников.
Каково матожидание числа пар двойняшек среди них?
В Анчурии всего <i>K</i> законов и <i>N</i> министров. Вероятность того, что случайно взятый министр знает случайно выбранный закон, равна <i>p</i>. Однажды министры собрались на совет, чтобы написать Концепцию. Если хотя бы один министр знает закон, то этот закон будет учтён в Концепции, в противном случае этот закон в Концепции учтён не будет. Найдите:
а) Вероятность того, что ровно <i>M</i> законов будут учтены в Концепции.
б) Математическое ожидание числа учтённых законов.
Бросим симметричную монету <i>n</i> раз. Предположим, что орёл выпал <i>m</i> раз. Число <sup><i>m</i></sup>/<sub><i>n</i></sub> называется <i>частотой</i> выпадения орла. Число <sup><i>m</i></sup>/<sub><i>n</i></sub> – 0,5 называется <i>отклонением</i> частоты от вероятности, а число |<sup><i>m</i></sup>/<sub><i>n</i></sub> – 0,5| называется <i>абсолютным отклонением</i>. Заметим, что отклонение и абсолютное отклонение являются случайными величинами. Например, если монету бросили 5 раз, и два раза выпал орёл, то отклонение равно ⅖ – 0,5 = –0,1, а абсолютное отклонение...
В страшную грозу по верёвочной лестнице цепочкой поднимаются <i>n</i> гномиков. Если вдруг случится удар грома, то от испуга каждый гномик, независимо от других, может упасть с вероятностью <i>p</i> (0 < <i>p</i> < 1). Если гномик падает, то он сшибает и всех гномиков, которые находятся ниже. Найдите:
а) Вероятность того, что упадёт ровно <i>k</i> гномиков.
б) Математическое ожидание числа упавших гномиков.
В Анчурии готовятся президентские выборы, в которых хочет победить президент Мирафлорес. Ровно половина многочисленных избирателей поддерживает Мирафлореса, а другая половина – Дика Малони. Мирафлорес тоже является избирателем. По закону он имеет право поделить всех избирателей на два избирательных округа по своему усмотрению. В каждом из округов голосование проводится следующим образом: каждый избиратель отмечает на бюллетене имя своего кандидата; все бюллетени помещаются в урну. Затем из урны достаётся один случайный бюллетень, и тот, чьё имя на нём отмечено, победит в этом округе. Кандидат побеждает на выборах, только если победит в обоих округах. Если победитель не выявился, назначается следующий тур голосования по тем же правилам. Как Мирафлорес должен поделить избирателей, чтобы макс...
Найдите вероятность того, что орёл выпадет чётное число раз, в эксперименте, в котором:
а) симметричную монету бросают <i>n</i> раз;
б) <i>n</i> раз бросают монету, у которой вероятность выпадения орла при одном бросании равна <i>p</i> (0 < <i>p</i> < 1).
Каждый день пёс Патрик сгрызает одну тапочку из имеющегося дома запаса. Строго с вероятностью 0,5 Патрик хочет сгрызть левую тапочку и с вероятностью 0,5 – правую. Если желаемой тапочки нет, Патрик расстраивается. Сколько пар одинаковых тапочек нужно купить, чтобы с вероятностью не меньше чем 0,8 Патрик не расстраивался целую неделю (7 дней)?
На рисунке показано платежное поручение на оплату электричества некоторой энергосбытовой компании.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/65348/problem_65348_img_2.png"></div> Каждый месяц клиент передаёт компании показания трёхтарифного счётчика, установленного в квартире. Из показаний за текущий месяц вычитаются соответствующие показания за прошлый месяц, получается фактический расход за месяц по каждой из трёх тарифных зон (пик, ночь, полупик). Затем расход по каждой зоне умножается на цену одного киловатт-часа в этой зоне. Складывая полученные суммы, клиент получает общую сумму оплаты за месяц. В данном примере клиент заплатит 660 р.72 коп.
Компания ведет учёт расхода и оплаты электроэнергии, пользуясь данными, полученными от...
Будем считать, что рождение девочки и мальчика равновероятны. Известно, что в некоторой семье двое детей.
а) Какова вероятность того, что из них один мальчик и одна девочка?
б) Дополнительно известно, что один из детей – мальчик. Какова теперь вероятность того, что в семье один мальчик и одна девочка?
в) Дополнительно известно, что мальчик родился в понедельник. Какова теперь вероятность того, что в семье один мальчик и одна девочка?
Квадрат разбит на треугольники (см. рисунок). Сколько существует способов закрасить ровно треть квадрата? Маленькие треугольники нельзя красить частично. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65346/problem_65346_img_2.png"></div>
Точка выходит из начала координат на прямой и делает <i>a</i> шагов на единицу вправо, <i>b</i> шагов на единицу влево в каком-то порядке, причём <i>a > b</i>. Размахом блуждания точки назовём разность между наибольшей и наименьшей координатами точки за всё время блуждания.
а) Найдите наибольший возможный размах блуждания.
б) Найдите наименьший возможный размах.
в) Сколько существует различных последовательностей движения точки, при которых размах блуждания будет наибольшим возможным?
В кабинете министров Анчурии 100 министров. Среди них есть жулики и честные министры. Известно, что из любых десяти министров по крайней мере один министр – жулик. Какое наименьшее число министров-жуликов может быть в кабинете?