Олимпиадные задачи из источника «2 (2009 год)»

Игральную кость бросают шесть раз. Найдите математическое ожидание числа различных выпавших граней.

В окружность вписан неправильный многоугольник. Если вершина <i>A</i> разбивает дугу, заключенную между двумя другими вершинами, на две неравные части, то такая вершина <i>A</i> называется <i>неустойчивой</i>. Каждую секунду какая-нибудь неустойчивая вершина перепрыгивает в середину своей дуги. В результате каждую секунду образуется новый многоугольник. Докажите, что сколько бы секунд ни прошло, многоугольник никогда не будет равным исходному.

В центре прямоугольного биллиардного стола длиной 3 м и шириной 1 м стоит биллиардный шарик. По нему ударяют кием в случайном направлении. После удара шар останавливается, пройдя ровно 2 м. Найдите ожидаемое число отражений от бортиков стола.

В здании <i>n</i> этажей и две лестницы, идущие от первого до последнего этажа. На каждой лестнице между каждыми двумя этажами на промежуточной лестничной площадке есть дверь, разделяющая этажи (с лестницы на этаж пройти можно, даже если дверь заперта). Комендант решил, что слишком много открытых дверей – это плохо, и запер ровно половину дверей, выбрав двери случайным образом. Какова вероятность того, что можно подняться с первого этажа на последний, проходя только через открытые двери?

В Анчурии проходит чемпионат по шашкам в несколько туров. Дни и города проведения туров определяются жеребьёвкой. По правилам чемпионата никакие два тура не могут пройти в одном городе, и никакие два тура не могут пройти в один день. Среди болельщиков устраивается лотерея: главный приз получает тот, кто до начала чемпионата правильно угадает, в каких городах и в какие дни пройдут все туры. Если никто не угадает, то главный приз перейдёт в распоряжение оргкомитета чемпионата. Всего в Анчурии восемь городов, а на чемпионат отведено всего восемь дней. Сколько туров должно быть в чемпионате, чтобы оргкомитет с наибольшей вероятностью получил главный приз?

В затылок друг другу выстроились <i>n</i> человек. Более высокие загораживают более низких, и тех не видно.

Чему равно математическое ожидание числа людей, которых видно?

Монету бросают 10 раз. Найдите вероятность того, что ни разу не выпадут два орла подряд.

В соревнованиях по пиханию животами шансы противников на победу относятся так же, как массы их тел. Юмбо весит больше Джумбо, а Пинк весит меньше Бонка. Ничьей в поединке быть не может. Юмбо и Джумбо по очереди должны пихаться с Пинком и Бонком. Какое из событий более вероятно: <i>A</i>= {Юмбо победит только Пинка, а Джумбо – только Бонка}  или  <i>B</i>= {Юмбо победит только Бонка, а Джумбо – только Пинка}?

По условиям шахматного матча победителем объявляется тот, кто опередил соперника на две победы. Ничьи в счет не идут. Вероятности выигрыша у соперников одинаковы. Число результативных партий в таком матче – величина случайная. Найдите её математическое ожидание.

На экзамене даётся три задачи по тригонометрии, две по алгебре и пять по геометрии. Ваня решает задачи по тригонометрии с вероятностью

<i>p</i>₁ = 0,2,  по геометрии – с вероятностью  <i>p</i>₂ = 0,4,  по алгебре – с вероятностью  <i>p</i>₃ = 0,5.  Чтобы получить тройку, Ване нужно решить не менее пяти задач.

  а) С какой вероятностью Ваня решит не менее пяти задач?

Ваня решил усиленно заняться задачами какого-нибудь одного раздела. За неделю он может увеличить вероятность решения заданий этого раздела на 0,2.

  б) Каким разделом следует заняться Ване, чтобы вероятность решить не менее пяти задач стала наибольшей?

  в) Каким разделом следует заняться Васе, чтобы математическ...

Ася и Вася вырезают прямоугольники из клетчатой бумаги. Вася ленивый; он кидает игральную кость один раз и вырезает квадрат, сторона которого равна выпавшему числу очков. Ася кидает кость дважды и вырезает прямоугольник с длиной и шириной, равными выпавшим числам. У кого математическое ожидание площади прямоугольника больше?

У Аси и Васи есть три монеты. На разных сторонах одной монеты изображены ножницы и бумага, на сторонах другой монеты – камень и ножницы, на сторонах третьей – бумага и камень. Ножницы побеждают бумагу, бумага побеждает камень и камень побеждает ножницы. Сначала Ася выбирает себе монетку, потом Вася, потом они бросают свои монетки и смотрят, кто выиграл (если выпало одно и то же, то – ничья). Так они делают много раз. Есть ли возможность у Васи выбирать монету так, чтобы вероятность его выигрыша была выше, чем у Аси?

В ящике 2009 носков – синих и красных. Может ли синих носков быть столько, чтобы вероятность вытащить наудачу два носка одного цвета была равна 0,5?

Маркетинговая компания решила провести социологическое исследование, чтобы узнать, какая часть городского населения узнаёт новости в основном из радиопередач, какая часть – из телепрограмм, какая часть – из прессы, а какая – по интернету. Для исследования было решено использовать выборку из 2000 случайно выбранных владельцев адресов электронной почты. Можно ли считать такую выборку репрезентативной?

При изучении иностранного языка класс делится на две группы. Ниже даны списки групп и полугодовые оценки учащихся. Может ли учительница английского языка перевести одного ученика из первой группы во вторую так, чтобы средний балл учащихся в обеих группах вырос? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65281/problem_65281_img_2.gif"></div>

У охотника есть две собаки. Однажды, заблудившись в лесу, он вышел на развилку. Охотник знает, что каждая из собак с вероятностью <i>p</i> выберет дорогу домой. Он решил выпустить собак по очереди. Если обе выберут одну и ту же дорогу, он пойдёт за ними; если же они разделятся, охотник выберет дорогу, кинув монетку. Увеличит ли таким способом охотник свои шансы выбрать дорогу домой, по сравнению с тем, как если бы у него была одна собака?

Вероятность того, что купленная лампочка будет работать, равна 0,95.

Сколько нужно купить лампочек, чтобы с вероятностью 0,99 среди них было не менее пяти работающих?

Коля и Женя договорились встретиться в метро в первом часу дня. Коля приходит на место встречи между полуднем и часом дня, ждёт 10 минут и уходит. Женя поступает точно так же.

  а) Какова вероятность того, что они встретятся?

  б) Как изменится вероятность встречи, если Женя решит прийти раньше половины первого, а Коля по-прежнему – между полуднем и часом?

  в) Как изменится вероятность встречи, если Женя решит прийти в произвольное время с 12.00 до 12.50, а Коля по-прежнему между 12.00 и 13.00?

А и Б стреляют в тире, но у них есть только один шестизарядный револьвер с одним патроном. Поэтому они договорились по очереди случайным образом крутить барабан и стрелять. Начинает А. Найдите вероятность того, что выстрел произойдёт, когда револьвер будет у А.