Олимпиадные задачи из источника «2014-2015» - сложность 2 с решениями

Бессмертная блоха прыгает по целым точкам на числовой прямой, стартуя с точки 0. Длина первого прыжка равна 3, второго – 5, третьего – 9, и так далее (длина <i>k</i>-го прыжка равна  2^<i>k</i> + 1).  Направление прыжка (вправо или влево) блоха выбирает самостоятельно. Может ли так случиться, что блоха рано или поздно побывает в каждой натуральной точке (возможно, побывав в некоторых точках больше, чем по разу)?

Числа <i>a</i> и <i>b</i> таковы, что каждый из двух квадратных трёхчленов  <i>x</i>² + <i>ax + b</i>  и  <i>x</i>² + <i>bx + a</i>  имеет по два различных корня, а произведение этих трёхчленов имеет ровно три различных корня. Найдите все возможные значения суммы этих трёх корней.

Существует ли такая бесконечная последовательность натуральных чисел, что для любого натурального <i>k</i> сумма любых <i>k</i> идущих подряд членов этой последовательности делится на  <i>k</i> + 1?

Известно, что клетчатый квадрат можно разрезать на <i>n</i> одинаковых фигурок из <i>k</i> клеток.

Докажите, что его можно разрезать и на <i>k</i> одинаковых фигурок из <i>n</i> клеток.

Назовём натуральное число <i>почти квадратом</i>, если оно равно произведению двух последовательных натуральных чисел.

Докажите, что каждый почти квадрат можно представить в виде частного двух почти квадратов.

По кругу записаны 100 целых чисел. Каждое из чисел больше суммы двух чисел, следующих за ним по часовой стрелке.

Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди записанных?

Квадратный трёхчлен  <i>f</i>(<i>x</i>) имеет два различных корня. Оказалось, что для любых чисел <i>a</i> и <i>b</i> верно неравенство  <i>f</i>(<i>a</i>² + <i>b</i>²) ≥ <i>f</i>(2<i>ab</i>).

Докажите, что хотя бы один из корней этого трёхчлена – отрицательный.

На новогодний вечер пришли несколько супружеских пар, у каждой из которых было от 1 до 10 детей. Дед Мороз выбирал одного ребёнка, одну маму и одного папу из трёх разных семей и катал их в санях. Оказалось, что у него было ровно 3630 способов выбрать нужную тройку людей. Сколько всего могло быть детей на этом вечере?

На плоскости отметили все вершины правильного <i>n</i>-угольника, а также его центр. Затем нарисовали контур этого <i>n</i>-угольника, и центр соединили со всеми вершинами; в итоге <i>n</i>-угольник разбился на <i>n</i> треугольников. Вася записал в каждую отмеченную точку по числу (среди чисел могут быть равные). В каждый треугольник разбиения он записал в произвольном порядке три числа, стоящих в его вершинах; после этого он стёр числа в отмеченных точках. При каких <i>n</i> по тройкам чисел, записанным в треугольниках, Петя всегда сможет восстановить число в каждой отмеченной точке?

Целые числа <i>a, x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x</i>₁₃ таковы, что  <i>a</i> = (1 + <i>x</i>₁)(1 + <i>x</i>₂)...(1 + <i>x</i>₁₃) = (1 – <i>x</i>₁)(1 – <i>x</i>₂)...(1 – <i>x</i>₁₃).  Докажите, что  <i>ax</i>₁<i>x</i>₂...<i>x</i>₁₃ = 0.

Дан прямоугольный треугольник <i>ABC</i> с прямым углом <i>C</i>. Пусть <i>BK</i> – биссектриса этого треугольника. Описанная окружность треугольника <i>AKB</i> пересекает вторично сторону <i>BC</i> в точке <i>L</i>. Докажите, что  <i>CB + CL = AB</i>.

После просмотра фильма зрители по очереди оценивали фильм целым числом баллов от 0 до 10. В каждый момент времени рейтинг фильма вычислялся как сумма всех выставленных оценок, делённая на их количество. В некоторый момент времени <i>T</i> рейтинг оказался целым числом, а затем с каждым новым проголосовавшим зрителем он уменьшался на единицу. Какое наибольшее количество зрителей могло проголосовать после момента <i>T</i>?

Назовём натуральное число <i>интересным</i>, если сумма его цифр – простое число.

Какое наибольшее количество интересных чисел может быть среди пяти подряд идущих натуральных чисел?

За круглым столом сидят 2015 человек, каждый из них – либо рыцарь, либо лжец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Им раздали по одной карточке, на каждой карточке написано по числу; при этом все числа на карточках различны. Посмотрев на карточки соседей, каждый из сидящих за столом сказал: "Мое число больше, чем у каждого из двух моих соседей". После этого <i>k</i> из сидящих сказали: "Мое число меньше, чем у каждого из двух моих соседей". При каком наибольшем <i>k</i> это могло случиться?