Задача
Бессмертная блоха прыгает по целым точкам на числовой прямой, стартуя с точки 0. Длина первого прыжка равна 3, второго – 5, третьего – 9, и так далее (длина k-го прыжка равна 2k + 1). Направление прыжка (вправо или влево) блоха выбирает самостоятельно. Может ли так случиться, что блоха рано или поздно побывает в каждой натуральной точке (возможно, побывав в некоторых точках больше, чем по разу)?
Решение
Покажем, как блоха может прыгать, попадая последовательно в точки 0, 1, 2, 3, ... (каждый раз – за несколько прыжков). Для этого достаточно показать, как, попав в точку n, за несколько прыжков попасть в точку n + 1.
Пусть до попадания в точку n блоха совершила k – 1 прыжок (то есть длина следующего прыжок будет равна 2k + 1). Тогда она может сделать
l = 2k прыжков влево, а затем один прыжок вправо. В результате она сместится вправо на
(2k+l + 1) – (2k + 1) – (2k+1 + 1) – ... – (2k+l–1 + 1) = (2k+l – 2k – 2k+1 – ... – 2k+l–1) + 1 – 2k = 2k + 1 – 2k = 1, что и требовалось.
Ответ
Может.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь