Олимпиадные задачи из источника «2011-2012» для 11 класса - сложность 1-5 с решениями
2011-2012
НазадДля натурального <i>n</i> обозначим <i>S<sub>n</sub></i> = 1! + 2! + ... + <i>n</i>!. Докажите, что при некотором <i>n</i> у числа <i>S<sub>n</sub></i> есть простой делитель, больший 10<sup>2012</sup>.
На окружности отмечено 2<i>n</i> + 1 точек, делящих её на равные дуги (<i>n</i> ≥ 2). Двое по очереди стирают по одной точке. Если после хода игрока все треугольники с вершинами в ещё отмеченных точках – тупоугольные, он выигрывает, и игра заканчивается. Кто выиграет при правильной игре: начинающий игру или его противник?
Точки <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub>, <i>C</i><sub>1</sub> выбраны на сторонах <i>BC, CA</i> и <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> соответственно. Оказалось, что <i>AB</i><sub>1</sub> – <i>AC</i><sub>1</sub> = <i>CA</i><sub>1</sub> – <i>CB</i><sub>1</sub> = <i>BC</i><sub>1</sub> – <i>BA</i><sub>1</sub>. Пусть <i>O<sub>A</sub></i>, <i>O<sub>B</sub></i> и <i>O<sub>C</sub></i> – центры описанных окружностей треугольников <i>AB</i><sub>1</sub&...
Даны многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) и такие числа <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, <i>b</i><sub>1</sub>, <i>b</i><sub>2</sub>, <i>b</i><sub>3</sub>, что <i>a</i><sub>1</sub><i>a</i><sub>2</sub><i>a</i><sub>3</sub> ≠ 0. Оказалось, что <i>P</i>(<i>a</i><sub>1</sub><i>x + b</i><sub>1</sub>) + <i>P</i>(<i>a</i><sub>2</sub><i>x + b</i><sub>2</sub>) = <i>P</i>(<i>a</i><sub>3<...
Дана пирамида <i>SA</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A<sub>n</sub></i>, основание которой – выпуклый многоугольник <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A<sub>n</sub></i>. Для каждого <i>i</i> = 1, 2, ..., <i>n</i> в плоскости основания построили треугольник <i>X<sub>i</sub>A<sub>i</sub>A</i><sub><i>i</i>+1</sub>, равный треугольнику <i>SA<sub>i</sub>A</i><sub><i>i</i>+1</sub> и лежащий по ту же сторону от прямой <i>A<sub>i</sub>A</i><sub><i>i</i>+1</sub>...
Клетчатая плоскость раскрашена в шахматном порядке в чёрный и белый цвета. Затем белые клетки снова раскрашены в красный и синий цвета так, чтобы клетки, соседние по углу, были разноцветными. Пусть <i>l</i> – прямая, не параллельная сторонам клеток. Для каждого отрезка <i>I</i>, параллельного <i>l</i>, посчитаем разность сумм длин его красных и синих участков. Докажите, что существует число <i>C</i> (зависящее только от прямой <i>l</i>) такое, что все полученные разности не превосходят <i>C</i>.
Изначально на столе лежат 111 кусков пластилина одинаковой массы. За одну операцию можно выбрать несколько групп (возможно, одну) по одинаковому количеству кусков и в каждой группе весь пластилин слепить в один кусок. За какое наименьшее количество операций можно получить ровно 11 кусков, каждые два из которых имеют различные массы?
Точка <i>E</i> – середина отрезка, соединяющего ортоцентр неравнобедренного остроугольного треугольника <i>ABC</i> с его вершиной <i>A</i>. Вписанная окружность этого треугольника касается сторон <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>C'</i> и <i>B'</i> соответственно. Докажите, что точка <i>F</i>, симметричная точке <i>E</i> относительно прямой <i>B'C'</i>, лежит на прямой, проходящей через центры вписанной и описанной окружностей треугольника <i>ABC</i>.
На координатной плоскости нарисовано <i>n</i> парабол, являющихся графиками квадратных трёхчленов; никакие две из них не касаются. Они делят плоскость на несколько областей, одна из которых расположена над всеми параболами. Докажите, что у границы этой области не более 2(<i>n</i> – 1) углов (то есть точек пересечения пары парабол).
Существуют ли такие натуральные числа <i>a, b, c</i>, большие 10<sup>10</sup>, что их произведение делится на любое из них, увеличенное на 2012?
Изначально на доске были написаны одночленs 1, <i>x, x</i>², ..., <i>x<sup>n</sup></i>. Договорившись заранее, <i>k</i> мальчиков каждую минуту одновременно вычисляли каждый сумму каких-то двух многочленов, написанных на доске, и результат дописывали на доску. Через <i>m</i> минут на доске были написаны, среди прочих, многочлены <i>S</i><sub>1</sub> = 1 + <i>x, S</i><sub>2</sub> = 1 + <i>x + x</i>², <i>S</i><sub>3</sub> = 1 + <i>x + x</i>² + <i>x</i><sup>3</sup>, ..., <i>S<sub>n</sub></i> = 1 + <i>x + x</i>² + ... + <i>x<sup>n</sup></i>. Докажите...
Каждые два из действительных чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, <i>a</i><sub>4</sub>, <i>a</i><sub>5</sub> отличаются не менее чем на 1. Оказалось, что для некоторого действительного <i>k</i> выполнены равенства <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116765/problem_116765_img_2.gif"> Докажите, что <i>k</i>² ≥ <sup>25</sup>/<sub>3</sub>.
Окружность ω, вписанная в остроугольный неравнобедренный треугольник <i>ABC</i>, касается стороны <i>BC</i> в точке <i>D</i>. Пусть точка <i>I</i> – центр окружности ω, а <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>. Описанная окружность треугольника <i>AID</i>, пересекает вторично прямую <i>AO</i> в точке <i>E</i>. Докажите, что длина отрезка <i>AE</i> равна радиусу окружности ω.
Пусть <i>a</i><sub>1</sub>, ..., <i>a</i><sub>10</sub> – различные натуральные числа, не меньшие 3, сумма которых равна 678. Может ли сумма остатков от деления некоторого натурального числа <i>n</i> на 20 чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a</i><sub>10</sub>, 2<i>a</i><sub>1</sub>, 2<i>a</i><sub>2</sub>,..., 2<i>a</i><sub>10</sub> равняться 2012?