Олимпиадные задачи из источника «2008-2009» для 8 класса

В некоторых клетках таблицы 10x10 расставлены несколько крести- ков и несколько ноликов. Известно, что нет линии (строки или столб- ца), полностью заполненной одинаковыми значками (крестиками или ноликами). Однако, если в любую пустую клетку поставить любой значок, то это условие нарушится. Какое минимальное число значков может стоять в таблице?

Треугольники <i>ABC</i> и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ имеют равные площади. Всегда ли можно построить при помощи циркуля и линейки треугольник <i>A</i>₂<i>B</i>₂<i>C</i>₂, равный треугольнику <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ и такой, что прямые <i>AA</i>₂, <i>BB</i>₂ и <i>CC</i>₂ будут параллельны?

Можно ли раскрасить натуральные числа в 2009 цветов так, чтобы каждый цвет встречался бесконечное число раз, и не нашлось тройки чисел, покрашенных в три различных цвета, таких, что произведение двух из них равно третьему?

Числа <i>a, b</i> и <i>c</i> таковы, что  (<i>a + b</i>)(<i>b + c</i>)(<i>c + a</i>) = <i>abc</i>,  (<i>a</i>³ + <i>b</i>³)(<i>b</i>³ + <i>c</i>³)(<i>c</i>³ + <i>a</i>³) = <i>a</i>³<i>b</i>³<i>c</i>³.  Докажите, что  <i>abc</i> = 0.

По кругу стоят 100 напёрстков. Под одним из них спрятана монетка. За один ход разрешается перевернуть четыре напёрстка и проверить, лежит ли под одним из них монетка. После этого их возвращают в исходное положение, а монетка перемещается под один из соседних с ней напёрстков. За какое наименьшее число ходов наверняка удастся обнаружить монетку?

Дано натуральное  <i>n</i> > 1.  Число  <i>a > n</i>²  таково, что среди чисел  <i>a</i> + 1, <i>a</i> + 2, ..., <i>a + n</i>  есть кратные каждого из чисел  <i>n</i>² + 1, <i>n</i>² + 2, ..., <i>n</i>² + <i>n</i>.

Докажите, что  <i>a > n</i>⁴ – <i>n</i>³.

В треугольнике <i> ABC </i>проведена биссектриса <i> BD </i>(точка <i> D </i>лежит на отрезке <i> AC </i>). Прямая <i> BD </i>пересекает окружность <i> Ω </i>, описанную около треугольника <i> ABC </i>, в точках <i> B </i>и <i> E </i>. Окружность <i> ω </i>, построенная на отрезке <i> DE </i>как на диаметре, пересекает окружность <i> Ω </i>в точках <i> E </i>и <i> F </i>. Докажите, что прямая, симметричная прямой <i> BF </i>относительно прямой <i> BD </i>, содержит медиану треугольника <i> ABC </i>.

Знаменатели двух несократимых дробей равны 600 и 700. Найдите наименьшее возможное значение знаменателя их суммы (в несократимой записи).

В бесконечной возрастающей последовательности натуральных чисел каждое делится хотя бы на одно из чисел 1005 и 1006, но ни одно не делится на 97. Кроме того, каждые два соседних числа отличаются не более чем на <i>k</i>. При каком наименьшем <i>k</i> такое возможно?

По кругу стоят2009целых неотрицательных чисел, не превышающих 100. Разрешается прибавить по1к двум соседним числам, причем с любыми двумя соседними числами эту операцию можно проделать не более<i> k </i> раз. При каком наименьшем<i> k </i>все числа гарантированно можно сделать равными?

В некоторых клетках доски 10×10 поставили <i>k</i> ладей, и затем отметили все клетки, которые бьёт хотя бы одна ладья (ладья бьёт и клетку, на которой стоит). При каком наибольшем <i>k</i> может оказаться, что после удаления с доски любой ладьи хотя бы одна отмеченная клетка окажется не под боем?

В стране некоторые пары городов соединены дорогами, которые не пересекаются вне городов. В каждом городе установлена табличка, на которой указана минимальная длина маршрута, выходящего из этого города и проходящего по всем остальным городам страны (маршрут может проходить по некоторым городам больше одного раза и не обязан возвращаться в исходный город). Докажите, что любые два числа на табличках отличаются не более чем в полтора раза.