Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» - сложность 3 с решениями

В квадрате 10×10 расставлены числа от 1 до 100: в первой строчке – от 1 до 10 слева направо, во второй – от 11 до 20 слева направо и т.д. Андрей собирается разрезать квадрат на доминошки 1×2, посчитать произведение чисел в каждой доминошке и сложить полученные 50 чисел. Он стремится получить как можно меньшую сумму. Как ему следует разрезать квадрат?

Фокусник Арутюн и его помощник Амаяк собираются показать следующий фокус. На доске нарисована окружность. Зрители отмечают на ней 2007 различных точек, затем помощник фокусника стирает одну из них. После этого фокусник впервые входит в комнату, смотрит на рисунок и отмечает полуокружность, на которой лежала стертая точка. Как фокуснику договориться с помощником, чтобы фокус гарантированно удался?

В клетках таблицы 10×10 произвольно расставлены натуральные числа от 1 до 100, каждое по одному разу. За один ход разрешается поменять местами любые два числа. Докажите, что за 35 ходов можно добиться того, чтобы сумма каждых двух чисел, стоящих в клетках с общей стороной, была составной.

Дан остроугольный треугольник <i>ABC</i>. Точки <i>M</i> и <i>N</i> – середины сторон <i>AB</i> и <i>BC</i> соответственно, точка <i>H</i> – основание высоты, опущенной из вершины <i>B</i>. Описанные окружности треугольников <i>AHN</i> и <i>CHM</i> пересекаются в точке <i>P</i>   (<i>P ≠ H</i>).  Докажите, что прямая <i>PH</i> проходит через середину отрезка <i>MN</i>.

В каждой вершине выпуклого 100-угольника написано по два различных числа. Докажите, что можно вычеркнуть по одному числу в каждой вершине так, чтобы оставшиеся числа в каждых двух соседних вершинах были различными.

В треугольнике <i>ABC</i> проведена биссектриса <i>BB</i>₁. Перпендикуляр, опущенный из точки <i>B</i>₁ на <i>BC</i>, пересекает дугу <i>BC</i> описанной окружности треугольника <i>ABC</i> в точке <i>K</i>. Перпендикуляр опущенный из точки <i>B</i> на <i>AK</i> пересекает <i>AC</i> в точке <i>L</i>. Докажите что точки <i>K, L</i> и середина дуги <i>AC</i> (не содержащей точку <i>B</i>) лежат на одной прямой.

Два игрока по очереди проводят диагонали в правильном (2<i>n+</i>1)-угольнике  (<i>n</i> > 1).  Разрешается проводить диагональ, если она пересекается (по внутренним точкам) с чётным числом ранее проведённых диагоналей (и не была проведена раньше). Проигрывает игрок, который не может сделать очередной ход. Кто выиграет при правильной игре?

На доске написали 100 дробей, у которых в числителях стоят все числа от 1 до 100 по одному разу и в знаменателях стоят все числа от 1 до 100 по одному разу. Оказалось, что сумма этих дробей есть несократимая дробь со знаменателем 2. Докажите, что можно поменять местами числители двух дробей так, чтобы сумма стала несократимой дробью с нечётным знаменателем.

Приведённые квадратные трёхчлены <i>f</i>(<i>x</i>) и <i>g</i>(<i>x</i>) таковы, что уравнения  <i>f</i>(<i>g</i>(<i>x</i>)) = 0  и  <i>g</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = 0  не имеют вещественных корней.

Докажите, что хотя бы одно из уравнений  <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = 0  и  <i>g</i>(<i>g</i>(<i>x</i>)) = 0  тоже не имеет вещественных корней.

Дан набор из<i> n></i>2векторов. Назовем вектор набора длинным, если его длина не меньше длины суммы остальных векторов набора. Докажите, что если каждый вектор набора– длинный, то сумма всех векторов набора равна нулю.

Дан многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>a</i>₀<i>xⁿ + a</i>₁<i>x</i>^<i>n</i>–1 + ... + <i>a</i>_<i>n</i>–1<i>x + a_n</i>.  Положим  <i>m</i> = min {<i>a</i>₀, <i>a</i>₀ + <i>a</i>₁, ..., <i>a</i>₀ + <i>a</i>₁ + ... + <i>a_n</i>}.

Докажите, что  <i>P</i>(<i>x</i>) ≥ <i>mxⁿ</i>...

Грани куба 9×9×9 разбиты на единичные клетки. Куб оклеен без наложений бумажными полосками 2×1 (стороны полосок идут по сторонам клеток). Докажите, что число согнутых полосок нечётно.

В бесконечной последовательности  (<i>x_n</i>)  первый член <i>x</i>₁ – рациональное число, большее 1, и  <i>x</i>_<i>n</i>+1 = <i>x_n</i> + ¹/_{[<i>x_n</i>]}  при всех натуральных <i>n</i>.

Докажите, что в этой последовательности есть целое число.

Вписанная окружность треугольника <i>ABC</i> касается сторон <i>BC, AC, AB</i> в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ соответственно. Отрезок <i>AA</i>₁ вторично пересекает вписанную окружность в точке <i>Q</i>. Прямая <i>l</i> параллельна <i>BC</i> и проходит через <i>A</i>. Прямые <i>A</i>₁<i>C</i>₁ и <i>A</i>₁<i>B</i>₁ пересекают <i>l</i> в точках <i>P</i> и <i>R</i> соответственно. Докажите, что  ∠<i...

Докажите, что при<i> k></i>10в произведении <center><i>

f</i>(<i>x</i>)<i> = cos x cos </i>2<i>x cos </i>3<i>x .. cos </i>2<i>^k x

</i></center> можно заменить один<i> cos </i>на<i> sin </i>так, что получится функция<i> f₁</i>(<i>x</i>), удовлетворяющая при всех действительных<i> x </i>неравенству<i> |f₁</i>(<i>x</i>)<i>|<img src="/storage/problem-media/111826/problem_111826_img_2.gif"> <img src="/storage/problem-media/111826/problem_111826_img_3.gif"> </i>.