Олимпиадная задача по планиметрии: центр описанной окружности и точки пересечения

  Пусть P и Q – середины сторон AB и BC соответственно, P₁, K₁, Q₁, M₁, B₁ – проекции точек P, K, Q, M, B на сторону AC. Поскольку P₁ – середина AB₁, а Q₁ – середина CB₁, то  P₁Q₁ = ½ AB₁ + ½ CB₁ = ½ AC.

  Поскольку K₁ – середина AN, а M₁ – середина CN, то  K₁M₁ = ½ AN + ½ CN = ½ AC = P₁Q₁.

  Поэтому, если точка K ближе к вершине B, чем точка P, то точка Q ближе к B, чем точка M. Поскольку  OP ⊥ AB  и  OQ ⊥ BC,  то  ∠POQ = 180° – ∠B.

  Таким образом, утверждение задачи равносильно равенству  ∠KOM= ∠POQ.  С учётом установленного расположения точек, достаточно доказать, что ∠POK= ∠QOM,  что равносильно подобию прямоугольных треугольниковOPKиOQM.   Пусть  ∠A= α,  ∠C= γ.  ПосколькуP₁K₁иQ₁M₁– проекции отрезковPKиQMна прямуюAC, то  P₁K₁=PKcos α, Q₁M₁=QMcos γ,  а так как P₁Q₁=K₁M₁,  то  P₁K₁=Q₁M₁,  и  PK:QM= cos γ : cos α.   С другой стороны,  ∠BOP= ½ ∠AOB= γ.  ЕслиR– радиус описанной окружности треугольникаABC, то  OP = Rcos γ, OQ = Rcos α.  Поэтому OP:OQ = PK:OM.   Следовательно, треугольникиOPKиOQMподобны.

Ответ задачи отсутствует