Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап»
В клетках таблицы 10×10 расставлены числа 1, 2, 3, ..., 100 так, что сумма любых двух соседних чисел не превосходит <i>S</i>.
Найдите наименьшее возможное значение <i>S</i>. (Числа называются соседними, если они стоят в клетках, имеющих общую сторону.)
В классе 33 человека. У каждого ученика спросили, сколько у него в классе тезок и сколько однофамильцев (включая родственников). Оказалось, что среди названных чисел встретились все целые от 0 до 10 включительно. Докажите, что в классе есть два ученика с одинаковыми именем и фамилией.
Существуют ли такие действительные числа <i>b</i> и <i>c</i>, что каждое из уравнений <i>x</i>² + <i>bx + c</i> = 0 и 2<i>x</i>² + (<i>b</i> + 1)<i>x + c</i> + 1 = 0 имеет по два целых корня?
Переаттестация Совета Мудрецов происходит так: король выстраивает их в колонну по одному и надевает каждому колпак белого или чёрного цветов. Все мудрецы видят цвета всех колпаков впереди стоящих мудрецов, а цвет своего и всех стоящих сзади не видят. Раз в минуту один из мудрецов должен выкрикнуть один из двух цветов (каждый мудрец выкрикивает цвет один раз). После окончания этого процесса король казнит каждого мудреца, выкрикнувшего цвет, отличный от цвета его колпака. Накануне переаттестации все сто членов Совета Мудрецов договорились и придумали, как минимизировать число казнённых. Скольким из них гарантированно удастся избежать казни?
Боковая поверхность прямоугольного параллелепипеда с основанием <i>a</i>×<i>b</i> и высотой <i>c</i> (<i>a, b</i> и <i>c</i> – натуральные числа) оклеена по клеточкам без наложений и пропусков прямоугольниками со сторонами, параллельными рёбрам параллелепипеда, каждый из которых состоит из чётного числа единичных квадратов. При этом разрешается перегибать прямоугольники через боковые ребра параллелепипеда. Докажите, что если <i>c</i> нечётно, то число способов оклейки чётно.
Выпуклый многоугольник<i> M </i>переходит в себя при повороте на угол90<i><sup>o</sup> </i>. Докажите, что найдутся два круга с отношением радиусов, равным<i> <img src="/storage/problem-media/109654/problem_109654_img_2.gif"> </i>, один из которых содержит<i> M </i>, а другой содержится в<i> M </i>.
Пусть <i>P</i>(<i>x</i>) – квадратный трёхчлен с неотрицательными коэффициентами.
Докажите, что для любых действительных чисел <i>x</i> и <i>y</i> справедливо неравенство (<i>P</i>(<i>xy</i>))² ≤ <i>P</i>(<i>x</i>²)<i>P</i>(<i>y</i>²).
На бесконечной в обе стороны полосе из клеток, пронумерованных целыми числами, лежит несколько камней (возможно, по нескольку в одной клетке). Разрешается выполнять следующие действия:<ol> <li> Снять по одному камню с клеток <i> n-</i>1 и <i> n </i> и положить один камень в клетку <i> n+</i>1; </li> <li> Снять два камня с клетки <i> n </i> и положить по одному камню в клетки <i> n+</i>1, <i> n-</i>2.</li></ol>Докажите, что при любой последовательности действий мы достигнем ситуации, когда указанные действия больше выполнять нельзя, и эта конечная ситуация не зависит от последовательности действий (а зависит только от начальной раскладки камней по клеткам).
Найдите все такие тройки натуральных чисел <i>m, n</i> и <i>l</i>, что <i>m + n</i> = (НОД(<i>m, n</i>))², <i>m + l</i> = (НОД(<i>m, l</i>))², <i>n + l</i> = (НОД(<i>n, l</i>))².
Существуют ли два квадратных трёхчлена <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> и (<i>a</i> + 1)<i>x</i>² + (<i>b</i> + 1)<i>x</i> + (<i>c</i> + 1) с целыми коэффициентами, каждый из которых имеет по два целых корня?
Многоугольник можно разбить на 100 прямоугольников, но нельзя – на 99. Докажите, что его нельзя разбить на 100 треугольников.
Две окружности пересекаются в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Через точку <i>A</i> проведена прямая, вторично пересекающая первую окружность в точке <i>C</i>, а вторую – в точке <i>D</i>. Пусть <i>M</i> и <i>N</i> – середины дуг <i>BC</i> и <i>BD</i>, не содержащих точку <i>A</i>, а <i>K</i> – середина отрезка <i>CD</i>. Докажите, что угол <i>MKN</i> прямой. (Можно считать, что точки <i>C</i> и <i>D</i> лежат по разные стороны от точки <i>A</i>.)
Квадрат<i> n</i>×<i>n </i>(<i> n<img src="/storage/problem-media/109646/problem_109646_img_2.gif"> </i>3) склеен в цилиндр. Часть клеток покрашена в черный цвет. Докажите, что найдутся две параллельных линии (две горизонтали, две вертикали или две диагонали), содержащие одинаковое количество черных клеток.
Решите в целых числах уравнение (<i>x</i>² – <i>y</i>²)² = 1 + 16<i>y</i>.
В прямоугольную коробку с основанием <i>m</i>×<i>n</i>, где <i>m</i> и <i>n</i> – нечётные числа, уложены домино размера 2×1 так, что остался не покрыт только квадрат 1×1 (дырка) в углу коробки. Если доминошка прилегает к дырке короткой стороной, её разрешается сдвинуть вдоль себя на одну клетку, закрыв дырку (при этом открывается новая дырка). Докажите, что с помощью таких передвижений можно перегнать дырку в любой другой угол.
Сфера, вписанная в тетраэдр, касается одной из его граней в точке пересечения биссектрис, другой – в точке пересечения высот, третьей – в точке пересечения медиан. Докажите, что тетраэдр правильный.
Даны многоугольник, прямая <i>l</i> и точка <i>P</i> на прямой <i>l</i> в общем положении (то есть все прямые, содержащие стороны многоугольника, пересекают <i>l</i> в различных точках, отличных от <i>P</i>). Отметим те вершины многоугольника, для каждой из которых прямые, на которых лежат выходящие из неё стороны многоугольника, пересекают <i>l</i> по разные стороны от точки <i>P</i>. Докажите, что точка <i>P</i> лежит внутри многоугольника тогда и только тогда, когда по каждую сторону от <i>l</i> отмечено нечётное число вершин.
Рассматриваются всевозможные квадратные трёхчлены вида <i>x</i>² + <i>px + q</i>, где <i>p, q</i> – целые, 1 ≤ <i>p</i> ≤ 1997, 1 ≤ <i>q</i> ≤ 1997.
Каких трёхчленов среди них больше: имеющих целые корни или не имеющих действительных корней?
Куб <i>n</i>×<i>n</i>×<i>n</i> сложен из единичных кубиков. Дана замкнутая несамопересекающаяся ломаная, каждое звено которой соединяет центры двух соседних (имеющих общую грань) кубиков. Назовём <i>отмёченными</i> грани кубиков, пересекаемые данной ломаной. Докажите, что рёбра кубиков можно окрасить в два цвета так, чтобы каждая отмеченная грань имела нечётное число, а всякая неотмеченная грань – чётное число сторон каждого цвета.
Переаттестация Совета Мудрецов происходит так: король выстраивает их в колонну по одному и надевает каждому колпак белого, синего или красного цветов. Все мудрецы видят цвета всех колпаков впереди стоящих мудрецов, а цвет своего и всех стоящих сзади не видят. Раз в минуту один из мудрецов должен выкрикнуть один из трёх цветов (каждый мудрец выкрикивает цвет один раз).
После окончания этого процесса король казнит каждого мудреца, выкрикнувшего цвет, отличный от цвета его колпака.
Накануне переаттестации все сто членов Совета Мудрецов договорились и придумали, как минимизировать число казненных. Скольким из них гарантированно удастся избежать казни?
Окружность с центром <i>O</i>, вписанная в треугольник <i>ABC</i>, касается сторон <i>AC, AB</i> и <i>BC</i> в точках <i>K, M</i> и <i>N</i> соответственно. Медиана <i>BB</i><sub>1</sub> треугольника пересекает <i>MN</i> в точке <i>D</i>. Докажите, что точка <i>O</i> лежит на прямой <i>DK</i>.
Окружность, вписанная в треугольник<i> ABC </i>касается его сторон<i> AB </i>,<i> BC </i>и<i> CA </i>в точках<i> M </i>,<i> N </i>и<i> K </i>соответственно. Прямая, проходящая через вершину<i> A </i>и параллельная<i> NK </i>, пересекает прямую<i> MN </i>в точке<i> D </i>. Прямая, проходящая через вершину<i> A </i>и параллельная<i> MN </i>, пересекает прямую<i> NK </i>в точке<i> E </i>. Докажите, что прямая<i> DE </i>содержит среднюю линию треугольника<i> ABC </i>.