Олимпиадные задачи из источника «12 (1989)»

Решить в натуральных числах уравнение:   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98024/problem_98024_img_2.gif">

Можно ли подобрать такие два натуральных числа <i>X</i> и <i>Y</i>, что <i>Y</i> получается из <i>X</i> перестановкой цифр, и  <i>X + Y</i> = 9...9  (1111 девяток)?

На консультации было 20 школьников и разбиралось 20 задач. Оказалось, что каждый из школьников решил две задачи и каждую задачу решили два школьника. Докажите, что можно так организовать разбор задач, чтобы каждый школьник рассказал одну из решённых им задач и все задачи были разобраны.

На плоскости даны три попарно пересекающиеся окружности. Через точки пересечения каждых двух из них проведена прямая.

Докажите, что эти три прямые пересекаются в одной точке или параллельны.

Пусть<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>– длины сторон треугольника; α, β, γ – величины противолежащих углов. Докажите, что   <i>a</i>α +<i>b</i>β +<i>c</i>γ ≥<i>a</i>β +<i>b</i>γ +<i>c</i>α.

Найдите все простые числа, которые нельзя записать в виде суммы двух составных.

Барон Мюнхгаузен заявил Георгу Кантору, что он может выписать в ряд все натуральные числа без единицы так, что только конечное их число будет больше своего номера. Не хвастает ли барон?

Каков наибольший возможный общий делитель чисел  9<i>m</i> + 7<i>n</i>  и  3<i>m</i> + 2<i>n</i>,  если числа <i>m</i> и <i>n</i> не имеют общих делителей, кроме единицы?

Первоклассник Петя знает только цифру 1. Докажите, что он может написать число, делящееся на 1989.

Восстановите  а) треугольник;  б) пятиугольник по серединам его сторон.

По окончании конкурса бальных танцев, в котором участвовали 7 мальчиков и 8 девочек, каждый (каждая) назвал (назвала) количество своих партнерш (партнеров): 3, 3, 3, 3, 3, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6. Не ошибся ли кто-нибудь из них?

Даны две окружности и точка. Построить отрезок, концы которого лежат на данных окружностях, а середина — в данной точке.

Один из пяти братьев испек маме пирог. Андрей сказал: "Это Витя или Толя". Витя сказал: "Это сделал не я и не Юра". Толя сказал: "Вы оба шутите". Дима сказал: "Нет, один из них сказал правду, а другой — нет". Юра сказал: "Нет Дима, ты не прав". Мама знает, что трое из ее сыновей всегда говорят правду.Кто испек пирог?

На турнире им. Ломоносова в институте МИМИНО были конкурсы по математике, физике, химии, биологии и бальным танцам. Когда турнир закончился, выяснилось, что на каждом конкурсе побывало нечётное количество школьников, и каждый школьник участвовал в нечётном количестве конкурсов. Чётное или нечётное число школьников пришло на турнир в МИМИНО?

У Джона была полная корзина тремпончиков. Сначала он встретил Анну и дал ей половину своих тремпончиков и еще полтремпончика. Потом он встретил Банну и отдал ей половину оставшихся тремпончиков и еще полтремпончика. После того, как он встретил Ванну и снова отдал ей половину тремпончиков и еще полтремпончика, корзина опустела. Сколько тремпончиков было у Джона вначале? (Что такое тремпончики выяснить не удалось, так как к концу задачи их не осталось.)