Пусть a₁, a₂, a₃, ... – выписанные в ряд все натуральные числа без единицы. Построим для этого новую последовательность (b_n) натуральных чисел, заданную следующим образом:  b₁ = 1,  b_n+1 = a_bn  при  n ≥ 2.

  Докажем, что все члены последовательности (b_n) различны. Действительно, пусть  b_k = b_m , причём  k > m > 1,  то  a_bk–1 = a_bm–1,  откуда   b_k–1 = b_m–1,  так как все члены последовательности (a_n) различны. Продолжая, получим  b_k–2 = b_m–2, ..., b_k–m+1 = b₁,  то есть  a_bk–m = 1.  Противоречие: последовательность (a_n) не содержит единицы.

  Так как (b_n) – бесконечная последовательность различных натуральных чисел, то в ней существует бесконечно много членов, больших предыдущего (в противном случае она бы убывала, начиная с некоторого места, что невозможно). Иными словами,  b_k+1 > b_k,  то есть  a_bk > b_k  для бесконечного числа k. А это и значит, что бесконечное число членов последовательности (a_n) больше своего номера.

Хвастает.