Олимпиадные задачи из источника «10 (1987)» для 8 класса

Докажите, что сумма диагоналей выпуклого четырёхугольника меньше его периметра, но больше полупериметра.

Докажите, что существует число, сумма цифр квадрата которого более, чем в 1000 раз превышает сумму цифр самого числа.

Какое максимальное число ладей можно расставить в кубе 8×8×8, чтобы они не били друг друга?

Известно, что некоторый многочлен в рациональных точках принимает рациональные значения.

Докажите, что все его коэффициенты рациональны.

Шалтай-Болтай ходит по прямой, проходя за минуту либо 37 шагов влево, либо 47 шагов вправо.

За какое наименьшее время он может оказаться на один шаг правее исходной точки?

Компьютер может производить одну операцию: брать среднее арифметическое двух целых чисел. Даны три числа: <i>m, n</i> и 0, причём <i>m</i> и <i>n</i> не имеют общих делителей и  <i>m < n</i>.  Докажите, что с помощью компьютера из них можно получить

  а) единицу;

  б) любое целое число от 1 до <i>n</i>.

В центре квадратного пруда плавает ученик. Внезапно к вершине квадрата подошёл учитель. Учитель не умеет плавать, но бегает в 4 раза быстрее, чем ученик плавает. Ученик бегает быстрее. Сможет ли он убежать?

Брат и сестра делят треугольный торт так: он указывает точку на торте, а она проводит через эту точку прямолинейный разрез и выбирает себе кусок. Каждый хочет получить кусок как можно больше. Где брат должен поставить точку? Какую часть торта получит в этом случае каждый из них?

На окружности даны 10 точек. Сколькими способами можно провести пять отрезков, не имеющих общих точек, с концами в данных точках?

Пусть <i>a</i> и <i>b</i> – целые числа. Докажите, что если  <i>a</i>² + 9<i>ab + b</i>²  делится на 11, то и  <i>a</i>² – <i>b</i>²  делится на 11.

На плоскости даны четыре точки, не лежащие на одной прямой. Докажите, что существует неостроугольный треугольник с вершинами в этих точках.

Али-Баба пришёл в пещеру, где есть золото, алмазы и сундук, в котором их можно унести. Полный сундук золота весит 200 кг, полный сундук алмазов – 40 кг, пустой сундук ничего не весит. Килограмм золота стоит на базаре 20 динаров, килограмм алмазов – 60 динаров. Али-Баба может поднять и унести не более 100 кг. Какую наибольшую сумму (денег) он может получить за сокровища, которые он принесёт из пещеры за один раз?

Найти все числа, которые в 12 раз больше суммы своих цифр.