Решение 1:   Предположим, что Али-Баба смог унести из пещеры x кг золота и y кг алмазов. В этом случае он сможет получить  20x + 60y  динаров. Поскольку Али-Баба может поднять не более 100 кг, то  x + y ≤ 100  (*).

  1 кг золота занимает ¹/₂₀₀, а 1 кг алмазов – ¹/₄₀ часть сундука. Значит,  ^x/₂₀₀ + ^y/₄₀  или  x + 5y ≤ 200  (**).

  Сложив неравенства (*) и (**) и умножив на 10, получим:  20x + 60y ≤ 3000.  Следовательно, Али-Баба сможет получить за сокровища не более 3000 динаров.

  Осталось показать, что Али-Баба сможет унести сокровища на эту сумму. Для этого необходимо и достаточно, чтобы в неравенствах (*) и (**) были выполнены равенства. Решив соответствующую систему уравнений, найдём  x = 75,  y = 25.  Это значит, что Али-Баба сможет получить 3000 динаров, взяв из пещеры 75 кг золота и 25 кг алмазов.

Решение 2:   Выгодно набить сундук полностью и по весу, и по объёму. Действительно, если сундук неполон, то можно небольшую часть золота заменить на равное по весу количество алмазов. При этом объём и стоимость груза возрастут. Если же сундук весит меньше 100 кг, то можно, наоборот, заменить небольшую часть алмазов на в 5 раз большее по весу количество золота. При этом стоимость груза также возрастёт.

  Поэтому (в обозначениях решения 1)  x + y = 100  и  x + 5y = 200,  а стоимость этого груза равна  20x + 60y = 10·(x + y + x + 5y) = 3000 динаров.

  (Разумеется, надо убедиться в том, что система имеет решение в неотрицательных числах.)

3000 динаров.