Лемма. Пусть M – точка пересечения медиан треугольника ABC. Тогда

  а) прямая, параллельная стороне треугольника и проходящая через точку M, разбивает его на треугольник и трапецию, отношение площадей которых равно  4 : 5;

  б) любая другая прямая, проходящая через точку M, разбивает его на части, отношение площадей которых больше ⁴/₅.

  Доказательство. а) Такая прямая отсекает треугольник, гомотетичный ABC с коэффициентом ²/₃.

  б) Если рассматриваемая прямая проходит через вершину треугольника, то отношение площадей частей, на которые она делит треугольник, равно 1, и утверждение справедливо.

  Проведём теперь через точку M прямую FG, находящуюся в "промежуточном положении" между прямой DE, параллельной стороне AB, и прямой AA₁, содержащей медиану треугольника (рис. слева). Докажем, что  

  Для этого проведём через точку D прямую, параллельную BC. Её точки пересечения с прямыми FG и AA₁ обозначим K и L соответственно. Отрезок DE делится точкой M пополам. Поэтому треугольники DKM и EGM равны. Значит,  S_FDM > S_KDM = S_EGM.  Отсюда  S_FGC = S_DEC + S_FDM – S_EGM > S_DEC.

  Аналогично равны треугольники KLM и GA1M. Поэтому  

  Из леммы следует, что если брат укажет на торте точку пересечения медиан, то тем самым добьётся, что сестра получит не более ⁵/₉ торта.

  Докажем теперь, что независимо от указанной братом точки, сестра сможет отрезать себе не менее ⁵/₉ торта. Проведём для этого через точку O, указанную братом, три прямые, параллельные сторонам треугольника (рис. справа). Каждая из них разбивает треугольник на треугольник и трапецию. Три полученные трапеции целиком покрывают исходный торт-треугольник. Поэтому по крайней мере одна из них содержит его точку пересечения медиан. Из леммы следует, что площадь этой трапеции не меньше ⁵/₉ площади всего торта. Эту трапецию она и должна отрезать для себя.

В точке пересечения медиан торта. Брат – ⁴/₉, сестра – ⁵/₉ торта.