Фактически, требуется найти решение уравнения  47x – 37y = 1   (*)   в целых неотрицательных числах с наименьшей суммой  x + y.

  Одно из решений этого уравнения –  x = 26,  y = 33.  Пусть  (x, y)  – другое целочисленное решение этого уравнения. Вычтя из равенства (*) равенство  47·26 – 37·33 = 1,  получаем  47(x – 26) = 37(y – 33).  Отсюда следует, что  x – 26  делится на 37, а  y – 33  – на 47. Значит,  (26, 33 ) – решение с минимальным положительным значением как x, так и y.

За 59 минут.