Олимпиадные задачи из источника «6 турнир (1984/1985 год)» - сложность 2 с решениями

Пусть <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> – длины сторон <i>BC</i>, <i>AC</i>, <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i>,  γ = ∠<i>C</i>.  Докажите, что  <i>c</i> ≥ (<i>a + b</i>) sin ^γ/₂.

В четырёхугольнике <i>ABCD</i> длины сторон <i>AB</i> и <i>BC</i> равны 1, ∠<i>B</i> = 100°, ∠<i>D</i> = 130°. Найдите <i>BD</i>.

В выпуклом шестиугольнике <i>ABCDEF</i> отрезки <i>AB</i> и <i>CF</i>, <i>CD</i> и <i>BE</i>, <i>EF</i> и <i>AD</i> попарно параллельны.

Докажите, что площади треугольников <i>ACE</i> и <i>BFD</i> равны.

В прямоугольник вписан четырёхугольник (на каждой стороне прямоугольника по одной вершине четырёхугольника).

Докажите, что периметр четырёхугольника не меньше удвоенной диагонали прямоугольника.

Выпуклой фигурой <i>F</i> нельзя накрыть полукруг радиуса <i>R</i>. Может ли случиться, что двумя фигурами, равными <i>F</i>, можно накрыть круг радиуса <i>R</i>?

Даны три действительных числа: <i>a, b</i> и <i>c</i>. Известно, что  <i>a + b + c</i> > 0,  <i>ab + bc + ca</i> > 0,  <i>abc</i> > 0.  Докажите, что  <i>a</i> > 0,  <i>b</i> > 0  и  <i>c</i> > 0.

Из чисел  1, 2, 3, ..., 1985  выбрать наибольшее количество чисел так, чтобы разность любых двух выбранных чисел не была простым числом.

<img align="right" src="/storage/problem-media/97867/problem_97867_img_2.gif">Квадрат разбит на пять прямоугольников так, что четыре угла квадрата являются углами четырёх прямоугольников, площади которых равны между собой, а пятый прямоугольник не имеет общих точек со сторонами квадрата. Докажите, что этот пятый прямоугольник есть квадрат.

а) Привести пример такого положительного <i>a</i>, что  {<i>a</i>} + {¹/_<i>a</i>} = 1.

б) Может ли такое <i>a</i> быть рациональным числом?

Каждый член последовательности, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему числу его суммы цифр. Первым членом последовательности является единица. Встретится ли в последовательности число 123456?

На прямой сидят три кузнечика, каждую секунду прыгает один кузнечик. Он прыгает через какого-нибудь кузнечика (но не через двух сразу).

Докажите, что через 1985 секунд они не могут вернуться в исходное положение.

Найти все решения системы уравнений:   (<i>x + y</i>)³ = <i>z</i>,  (<i>y + z</i>)³ = <i>x</i>,  (<i>z + x</i>)³ = <i>y</i>.

Имеется 68 монет, причём известно, что любые две монеты различаются по весу.

За 100 взвешиваний на двухчашечных весах без гирь найти самую тяжелую и самую лёгкую монеты.

На фестивале камерной музыки собралось шесть музыкантов. На каждом концерте часть музыкантов выступает, а остальные слушают их из зала. За какое наименьшее число концертов каждый из шести музыкантов сможет послушать (из зала) всех остальных?

Доказать, что среди 18 последовательных трёхзначных чисел найдётся хотя бы одно, которое делится на сумму своих цифр.

Решить в целых числах уравнение  2^<i>n</i> + 7 = <i>x</i>².

Посёлок построен в виде квадрата 3 квартала на 3 квартала (кварталы – квадраты со стороной <i>b</i>, всего 9 кварталов). Какой наименьший путь должен пройти асфальтоукладчик, чтобы заасфальтировать все улицы, если он начинает и кончает свой путь в угловой точке <i>A</i>? (Стороны квадрата – тоже улицы).

Биссектрисы <i>BD</i> и <i>CE</i> треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>O</i>.

Докажите, что если  <i>OD = OE</i>,  то либо треугольник равнобедренный, либо его угол при вершине <i>A</i> равен 60°.

Докажите, что площадь проекции куба с ребром 1 на любую плоскость численно равна длине его проекции на прямую, перпендикулярную этой плоскости.