Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, подготовительный вариант, 7-8 класс»

В прямоугольник вписан четырёхугольник (на каждой стороне прямоугольника по одной вершине четырёхугольника).

Докажите, что периметр четырёхугольника не меньше удвоенной диагонали прямоугольника.

Доказать, что среди 18 последовательных трёхзначных чисел найдётся хотя бы одно, которое делится на сумму своих цифр.

Решить в целых числах уравнение  2^<i>n</i> + 7 = <i>x</i>².

Посёлок построен в виде квадрата 3 квартала на 3 квартала (кварталы – квадраты со стороной <i>b</i>, всего 9 кварталов). Какой наименьший путь должен пройти асфальтоукладчик, чтобы заасфальтировать все улицы, если он начинает и кончает свой путь в угловой точке <i>A</i>? (Стороны квадрата – тоже улицы).

Биссектрисы <i>BD</i> и <i>CE</i> треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>O</i>.

Докажите, что если  <i>OD = OE</i>,  то либо треугольник равнобедренный, либо его угол при вершине <i>A</i> равен 60°.