Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, подготовительный вариант, 7-8 класс»

Медиана <i>AD</i>, высота <i>BE</i> и биссектриса <i>CF</i> треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Известно, что  <i>BO = CO</i>.

Докажите, что треугольник <i>ABC</i> равносторонний.

Каждый член последовательности, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему числу его суммы цифр. Первым членом последовательности является единица. Встретится ли в последовательности число 123456?

На прямой сидят три кузнечика, каждую секунду прыгает один кузнечик. Он прыгает через какого-нибудь кузнечика (но не через двух сразу).

Докажите, что через 1985 секунд они не могут вернуться в исходное положение.

Найти все решения системы уравнений:   (<i>x + y</i>)³ = <i>z</i>,  (<i>y + z</i>)³ = <i>x</i>,  (<i>z + x</i>)³ = <i>y</i>.

Имеется 68 монет, причём известно, что любые две монеты различаются по весу.

За 100 взвешиваний на двухчашечных весах без гирь найти самую тяжелую и самую лёгкую монеты.