Олимпиадные задачи из источника «6 турнир (1984/1985 год)» для 2-8 класса

Пусть <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> – длины сторон <i>BC</i>, <i>AC</i>, <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i>,  γ = ∠<i>C</i>.  Докажите, что  <i>c</i> ≥ (<i>a + b</i>) sin ^γ/₂.

В четырёхугольнике <i>ABCD</i> длины сторон <i>AB</i> и <i>BC</i> равны 1, ∠<i>B</i> = 100°, ∠<i>D</i> = 130°. Найдите <i>BD</i>.

На плоскости расположено такое конечное множество точек <i>M</i>, что никакие три точки не лежат на одной прямой. Некоторые точки соединены друг с другом отрезками так, что из каждой точки выходит не более одного отрезка. Разрешается заменить пару пересекающихся отрезков <i>AB</i> и <i>CD</i> парой противоположных сторон <i>AC</i> и <i>BD</i> четырёхугольника <i>ACBD</i>. В полученной системе отрезков разрешается снова произвести подобную замену, и т. д. Может ли последовательность таких замен быть бесконечной?

Медиана <i>AD</i>, высота <i>BE</i> и биссектриса <i>CF</i> треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Известно, что  <i>BO = CO</i>.

Докажите, что треугольник <i>ABC</i> равносторонний.

В выпуклом шестиугольнике <i>ABCDEF</i> отрезки <i>AB</i> и <i>CF</i>, <i>CD</i> и <i>BE</i>, <i>EF</i> и <i>AD</i> попарно параллельны.

Докажите, что площади треугольников <i>ACE</i> и <i>BFD</i> равны.

В прямоугольник вписан четырёхугольник (на каждой стороне прямоугольника по одной вершине четырёхугольника).

Докажите, что периметр четырёхугольника не меньше удвоенной диагонали прямоугольника.

В классе 32 ученика. Было организовано 33 кружка, причём каждый кружок состоит из трёх человек и никакие два кружка не совпадают по составу. Доказать, что найдутся такие два кружка, которые пересекаются ровно по одному ученику.

  Радиус <i>OM</i> круга равномерно вращается, поворачиваясь в секунду на угол ^360°/_<i>N</i>  (<i>N</i> – натуральное число, большее 3). В начальный момент он занимал положение <i>OM</i>₀, через секунду – <i>OM</i>₁, ещё через две секунды после этого (то есть через три секунды после начала) – <i>OM</i>₂, ещё через три секунды после этого – <i>OM</i>₃, и т. д., ещё через  <i>N</i> – 1  секунду после <i>ОМ</i>_<i>N</i>–2  – <i>OM</i>_<i>N</i>–1.

  При каких <i>N...

Даны три действительных числа: <i>a, b</i> и <i>c</i>. Известно, что  <i>a + b + c</i> > 0,  <i>ab + bc + ca</i> > 0,  <i>abc</i> > 0.  Докажите, что  <i>a</i> > 0,  <i>b</i> > 0  и  <i>c</i> > 0.

Из чисел  1, 2, 3, ..., 1985  выбрать наибольшее количество чисел так, чтобы разность любых двух выбранных чисел не была простым числом.

В таблицу 10×10 нужно записать в каком-то порядке цифры  0, 1, 2, 3, ..., 9  так, что каждая цифра встречалась бы 10 раз.

  а) Можно ли это сделать так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце встречалось не более четырёх различных цифр?

  б) Докажите, что найдётся строка или столбец, в которой (в котором) встречается не меньше четырёх различных чисел.

<img align="right" src="/storage/problem-media/97867/problem_97867_img_2.gif">Квадрат разбит на пять прямоугольников так, что четыре угла квадрата являются углами четырёх прямоугольников, площади которых равны между собой, а пятый прямоугольник не имеет общих точек со сторонами квадрата. Докажите, что этот пятый прямоугольник есть квадрат.

Каждый член последовательности, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему числу его суммы цифр. Первым членом последовательности является единица. Встретится ли в последовательности число 123456?

На прямой сидят три кузнечика, каждую секунду прыгает один кузнечик. Он прыгает через какого-нибудь кузнечика (но не через двух сразу).

Докажите, что через 1985 секунд они не могут вернуться в исходное положение.

Найти все решения системы уравнений:   (<i>x + y</i>)³ = <i>z</i>,  (<i>y + z</i>)³ = <i>x</i>,  (<i>z + x</i>)³ = <i>y</i>.

Имеется 68 монет, причём известно, что любые две монеты различаются по весу.

За 100 взвешиваний на двухчашечных весах без гирь найти самую тяжелую и самую лёгкую монеты.

В квадрате 7×7 клеток размещено 16 плиток размером 1×3 и одна плитка 1×1.

Докажите, что плитка 1×1 либо лежит в центре, либо примыкает к границам квадрата.

На фестивале камерной музыки собралось шесть музыкантов. На каждом концерте часть музыкантов выступает, а остальные слушают их из зала. За какое наименьшее число концертов каждый из шести музыкантов сможет послушать (из зала) всех остальных?

В правильном десятиугольнике проведены все диагонали. Возле каждой вершины и возле каждой точки пересечения диагоналей поставлено число +1 (рассматриваются только сами диагонали, а не их продолжения). Разрешается одновременно изменить все знаки у чисел, стоящих на одной стороне или на одной диагонали. Можно ли с помощью нескольких таких операций изменить все знаки на противоположные?

Набор чисел  <i>A</i>₁, <i>A</i>₂, ..., <i>A</i>₁₀₀  получен некоторой перестановкой из чисел 1, 2, ..., 100. Образуют сто чисел:

      <i>B</i>₁ = <i>A</i>₁,  <i>B</i>₂ = <i>A</i>₁ + <i>A</i>₂,  <i>B</i>₃ = <i>A</i>₁ + <i>A</i>₂ + <i>A</i>₃,  ...,  <i>B</i>₁₀₀ = <i>A</i>₁ + <i>A</i><sub>2...

На острове Серобуромалин обитают 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Если встречаются два хамелеона разного цвета, то они одновременно меняют свой цвет на третий (серый и бурый становятся оба малиновыми и т.п.). Может ли случиться так, что через некоторое время все хамелеоны будут одного цвета?

Доказать, что среди 18 последовательных трёхзначных чисел найдётся хотя бы одно, которое делится на сумму своих цифр.

Решить в целых числах уравнение  2^<i>n</i> + 7 = <i>x</i>².

Посёлок построен в виде квадрата 3 квартала на 3 квартала (кварталы – квадраты со стороной <i>b</i>, всего 9 кварталов). Какой наименьший путь должен пройти асфальтоукладчик, чтобы заасфальтировать все улицы, если он начинает и кончает свой путь в угловой точке <i>A</i>? (Стороны квадрата – тоже улицы).

Биссектрисы <i>BD</i> и <i>CE</i> треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>O</i>.

Докажите, что если  <i>OD = OE</i>,  то либо треугольник равнобедренный, либо его угол при вершине <i>A</i> равен 60°.