Олимпиадные задачи из источника «23 турнир (2001/2002 год)» для 8 класса

Пусть <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁, <i>CC</i>₁ – высоты остроугольного треугольника <i>ABC, O_A, O_B, O_C</i> – центры вписанных окружностей треугольников <i>AB</i>₁<i>C</i>₁, <i>BC</i>₁<i>A</i>₁, <i>CA</i>₁<i>B</i>₁ соответственно; <i>T_A, T_B, T_C</i> – точки касания вписанной окружности треугольника <i>ABC</i> со сторо...

В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> точки <i>E</i> и <i>F</i> являются серединами сторон <i>BC</i> и <i>CD</i> соответственно. Отрезки <i>AE, AF</i> и <i>EF</i> делят четырёхугольник на четыре треугольника, площади которых равны (в каком-то порядке) последовательным натуральным числам. Каково наибольшее возможное значение площади треугольника <i>ABD</i>?

Остроугольный треугольник разрезали прямолинейным разрезом на две (не обязательно треугольные) части, затем одну из этих частей – опять на две части, и так далее: на каждом шаге выбирали любую из уже имеющихся частей и разрезали её (по прямой) на две. Через несколько шагов оказалось, что исходный треугольник распался на несколько треугольников. Могут ли все они быть тупоугольными?

В ряд расположили <i>n</i> лампочек и зажгли некоторые из них. Каждую минуту после этого все лампочки, горевшие на прошлой минуте, гаснут, а те негоревшие лампочки, которые на прошлой минуте соседствовали ровно с одной горящей лампочкой, загораются. При каких <i>n</i> можно так зажечь некоторые лампочки в начале, чтобы потом в любой момент нашлась хотя бы одна горящая лампочка?

Пусть <i>a, b, c</i> – стороны треугольника. Докажите неравенство  <i>a</i>³ + <i>b</i>³ + 3<i>abc > c</i>³.

С цепочкой камней домино, сложенной по обычным правилам, разрешается проделывать такую операцию: выбирается кусок из нескольких подряд доминошек с одинаковыми очками на концах куска, переворачивается целиком и вставляется на то же место. Докажите, что если у двух цепочек, сложенных из двух одинаковых комплектов домино, значения очков на концах совпадают, то разрешёнными операциями можно сделать порядок следования доминошек во второй цепочке таким же, как в первой.

На клетчатой доске размером 23×23 клетки стоят четыре фишки: в левом нижнем и в правом верхнем углах доски – по белой фишке, а в левом верхнем и в правом нижнем углах - по чёрной. Белые и чёрные фишки ходят по очереди, начинают белые. Каждым ходом одна из фишек сдвигается на любую соседнюю (по стороне) свободную клетку. Белые фишки стремятся попасть в две соседние по стороне клетки. Могут ли чёрные им помешать?

а) Есть 128 монет двух различных весов, монет каждого веса поровну. Как на чашечных весах без гирь гарантированно найти две монеты разного веса не более чем за семь взвешиваний?

б) Есть восемь монет двух различных весов, монет каждого веса поровну. Как на чашечных весах без гирь гарантированно найти две монеты разного веса за два взвешивания?

Стороны <i>AB, BC, CD</i> и <i>DA</i> четырёхугольника <i>ABCD</i> касаются некоторой окружности в точках <i>K, L, M</i> и <i>N</i> соответственно, <i>S</i> – точка пересечения отрезков <i>KM</i> и <i>LN</i>. Известно, что вокруг четырёхугольника <i>SKBL</i> можно описать окружность. Докажите, что вокруг четырёхугольника <i>SNDM</i> также можно описать окружность.

Для натуральных чисел <i>x</i> и <i>y</i> число  <i>x</i>² + <i>xy + y</i>²  в десятичной записи оканчивается нулем. Докажите, что оно оканчивается хотя бы двумя нулями.

Можно ли разрезать какой-нибудь треугольник на четыре выпуклые фигуры: треугольник, четырёхугольник, пятиугольник и шестиугольник?

Имеется много одинаковых прямоугольных картонок размером <i>a</i>×<i>b</i> см, где <i>a</i> и <i>b</i> – целые числа, причём  <i>a < b</i>.  Известно, что из таких картонок можно сложить и прямоугольник 49×51 см, и прямоугольник 99×101 см. Можно ли по этим данным однозначно определить <i>a</i> и <i>b</i>?

В строке записано несколько чисел. Каждую секунду робот выбирает какую-либо пару рядом стоящих чисел, в которой левое число больше правого, меняет их местами и при этом умножает оба числа на 2. Докажите, что через некоторое время сделать очередную такую операцию будет невозможно.

Саша выставляет на пустую шахматную доску ладьи: первую – куда захочет, а каждую следующую ставит так, чтобы она побила нечётное число ранее выставленных ладей. Какое наибольшее число ладей он сможет так выставить?

Правильный (2<i>n</i>+1)-угольник разбили диагоналями на  2<i>n</i> – 1  треугольник. Докажите, что среди них по крайней мере три равнобедренных.

В каждой клетке таблицы  (<i>n</i>–2)×<i>n</i>  (<i>n</i> > 2)  записано целое число от 1 до <i>n</i>, причём в каждой строке все числа различны и в каждом столбце все числа различны. Докажите, что эту таблицу можно дополнить до квадрата <i>n</i>&times<i>n</i>, записав в каждую новую клетку какое-нибудь целое число от 1 до <i>n</i> так, чтобы по-прежнему в каждой строке и в каждом столбце числа были различны.

<i>n</i> красных и <i>n</i> синих точек, строго чередуясь, разделили окружность на 2<i>n</i> дуг так, что каждые две смежные из них имеют различную длину. При этом длины каждой из этих дуг равны одному из трёх чисел: <i>a, b</i> или <i>c</i>. Докажите, что <i>n</i>-угольник с красными вершинами и <i>n</i>-угольник с синими вершинами имеют равные периметры и равные площади.

Существуют ли такие натуральные числа  <i>a</i>₁ < <i>a</i>₂ < <i>a</i>₃ < ... < <i>a</i>₁₀₀,  что  НОД(<i>a</i>₁, <i>a</i>₂) > НОД(<i>a</i>₂, <i>a</i>₃) > ... > НОД(<i>a</i>₉₉, <i>a</i>₁₀₀)?

На плоскости отмечены несколько (больше трёх) точек. Известно, что если выкинуть любую точку, то оставшиеся будут симметричны относительно какой-нибудь прямой. Верно ли, что все множество точек тоже симметрично относительно какой-нибудь прямой?

По прямой в одном направлении на некотором расстоянии друг от друга движутся пять одинаковых шариков, а навстречу им движутся пять других таких же шариков. Скорости всех шариков одинаковы. При столкновении любых двух шариков они разлетаются в противоположные стороны с той же скоростью, с какой двигались до столкновения. Сколько всего столкновений произойдёт между шариками?

В Колиной коллекции есть четыре царские золотые пятирублевые монеты. Коле сказали, что какие-то две из них фальшивые. Коля хочет проверить (доказать или опровергнуть), что среди монет есть ровно две фальшивые. Удастся ли ему это сделать с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь? (Фальшивые монеты одинаковы по весу, настоящие тоже одинаковы по весу, но фальшивые легче настоящих.)

Cлава перемножил первые <i>n</i> натуральных чисел, а Валера перемножил первые <i>m</i> чётных натуральных чисел (<i>n</i> и <i>m</i> больше 1). В результате у них получилось одно и то же число. Докажите, что хотя бы один из мальчиков ошибся.

В трапеции <i>ABCD</i> на боковой стороне <i>AB</i> дана точка <i>K</i>. Через точку <i>A</i> провели прямую <i>l</i>, параллельную прямой <i>KC</i>, а через точку <i>B</i> – прямую <i>m</i>, параллельную прямой <i>KD</i>. Докажите, что точка пересечения прямых <i>l</i> и <i>m</i> лежит на стороне <i>CD</i>.